Bestimmen Sie die Lösung dieser inhomogenene linearen Rekursionsgleichung mit konstanten Koeffizienten.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösung dieser inhomogenene linearen Rekursionsgleichung mit konstanten Koeffizienten.

a₁ = 2, a₂=4, a₃ = 7

a_n+1 = a_n + n +1 (n größer gleich 1)

Problem/Ansatz:

1. Ich bin gerade neu im Thema Rekursionsgleichungen lösen. Wie müsste ich da genau vorgehen. Das was der Prof am Tafel gezeigt hat, verstehe ich nicht ganz. Könnte jemand mal Schritt für Schritt zeigen wie man da vergehen sollte, es gäbe ein "Kochrezept" wie man solche Rekursionsgleichungen lösen kann.

2. Was ist der Unterschied zwischen inhomogen und homogen lineare Rekursionsgleichung?

Answer 1

Versuchsmal mit $$ a_n = a_1 + \frac{n (n+1)}{2} - 1 $$

Comments

Das wäre eine Lösung der Rekursionsgleichung. Unser Prof kam auf a_n = 1+ (1/2)n² + (1/2) * n

Würdest mir deine Lösung näher erklären? Wie bist du darauf gekommen?

Edit:: Habe eben herausgefunden ,dass beide Gleichungen identisch sind. :)

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Meine und Deine Lösung sind identisch, wenn Du für \( a_1 = 2 \) einsetzt.

\( a_2 = a_1 + 2 \) und \( a_3 = a_2 + 3 = a_1 + 2 + 3 \) und deshalb

$$ a_n = a_1 + \sum_{i=1}^n i - 1 = a_1 + \frac{n(n+1)}{2} - 1$$

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Okey danke dir, aber sowie du das gemacht hast, müsste man ja wissen dass $$\sum \limits_{i=0}^{n} i = (n*(n+1))/2$$ ist.

In meinem Lösungen steht folgendes:

1. homogene Gleichung: a_n+1 − a_n = 0, n ∈ N
   charakteristisches Polynom: λ − 1 = 0, d.h. a_h,n = c
2. inhomogene Gleichung: a_n+1 − a_n = n + 1
   Ansatz vom Typ der rechten Seite: a_s,n = n · (α₀ + α₁n), da
   α eine Losung der homogenen Gleichung ist.
      ⇒ α₁(n + 1)2 + α_o(n + 1) − α₁n² − α_on = n + 1, d.h. 2α₁n + α₁ + α₀ = n + 1
     Koeffizientenvergleich liefert: 2α₁ = 1, α₁ + α₀ = 1, d.h. α₀ =
     α₁ = 1/2 und somit a_s,n = 0.5(n² + n), n ∈ N.
3. allgemeine Lösung: a_n = c + 0.5(n² + n), n ∈ N
Aus a₁ = 2 folgt c = 1 und damit a_n = 0.5(n² +n+ 2), n ∈ N.

Wie kommt man auf das hier? a_s,n = n · (α₀ + α₁n)

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Also das \( \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} \) ist sollte ja bekannt sein, seid Gauss als Grundschüler diese Formel aufgestellt hat. Und das ist ja schon einiges her.

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Jetzt ist es mir bekannt, allerdings versuche ich die Lösung zu verstehen, weil man damit Rekursionsgleichungen nach dem selben Schema lösen kann und ich verstehe das einfach nicht. Sitze schon seit Stunden an der selben Lösung der Aufgabe.

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Siehe hier https://www.matheboard.de/archive/591195/thread.html

Du kannst aber auch einen linearen Ansatz für die inhomogene Gleichung machen, also

$$  a_{s,n} = \alpha_0 +\alpha_1 n $$ Das führt zu keiner Lösung. Dann erweitert amn den Ansatz auf $$  a_{s,n} = \alpha_0 +\alpha_1 n + \alpha_2 n^2 $$ Das einsetzen und Koeffizientenvergleich durchführen führt zu deiner Lösung.

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Ich danke dir, ich habe mir nochmals die Vorlesung dazu angeschaut und habe es dann verstanden.