Beweise, dass die Behauptung stimmt

Question

Aufgabe:

Sei x₀ Element (0,1) und

xn+1 := (xn +xn ^3 - xn^5) ÷ 2 für n ≥0

Beweise dass

xn Element (0,1) für alle n element N

Und beweise, dass xn+1 <xn für alle n element N

Answer 1

Hallo,

beide Aussagen lassen sich mit Induktion zeigen. Um mir Schreibarbeit zu ersparen, benutze ich

$$f(x):=0.5(x+x^3-x^5)$$

so dass \(x_{n+1}=f(x_n)\) ist.

1. Die Folge \((x_n)\) bleibt im Intervall \((0,1)\). Dazu:
Wenn \(x \in (0,1)\) ist, dann \(f(x) < 0.5(1+1)=1\). Wenn \(0<x<1\) ist, dann ist \(x^5<x^3\); daher \(f(x)>0.5x>0\). Insgesamt also \(f(x) \in (0,1)\).

2. Die Folge ist monoton fallend:

Wegen \(0<x<1\) ist \(x^3<x\). Damit \(f(x)<0.5(x+x^3(1-x^2))<0.5(x+x)=x\)

Gruß Mathhilf

Answer 2

Zeige, dass für für x ∈ (0 ; 1) folgendes gilt:

(x + x^3 - x^5)/2 > 0

(x + x^3 - x^5)/2 < x