Beweise, dass die Behauptung stimmt

Question

Aufgabe:

Sei x₀ Element (0,1) und

xn+1 := (xn +xn ³ - xn⁵) ÷ 2 für n ≥0

Beweise dass

xn Element (0,1) für alle n element N

Und beweise, dass xn+1 <xn für alle n element N

Answer 1

Hallo,

beide Aussagen lassen sich mit Induktion zeigen. Um mir Schreibarbeit zu ersparen, benutze ich

$$f(x):=0.5(x+x^3-x^5)$$

so dass $x_{n+1}=f(x_n)$ ist.

1. Die Folge $(x_n)$ bleibt im Intervall $(0,1)$. Dazu:
Wenn $x \in (0,1)$ ist, dann $f(x) < 0.5(1+1)=1$. Wenn $0<x<1$ ist, dann ist $x^5<x^3$; daher $f(x)>0.5x>0$. Insgesamt also $f(x) \in (0,1)$.

2. Die Folge ist monoton fallend:

Wegen $0<x<1$ ist $x^3<x$. Damit $f(x)<0.5(x+x^3(1-x^2))<0.5(x+x)=x$

Gruß Mathhilf

Answer 2

Zeige, dass für für x ∈ (0 ; 1) folgendes gilt:

(x + x³ - x⁵)/2 > 0

(x + x³ - x⁵)/2 < x