Stimmt die Behauptung vom Zahnarzt bezüglich der Wartezeiten?

Question

Aufgabe:

Die Wartezeiten der Patienten beim Zahnarzt Doktor Weiß sind mit μ = 7 Minuten und σ = 2 Minuten normalverteilt. Herr Weiß sagt, dass nur einer von 20 Patienten länger als 10 Minuten warten muss.

Stimmt die Behauptung vom Zahnarzt Doktor Weiß?

Answer 1

Aloha :)

Wir verwenden die Standardnormalverteilung \(\phi(z)\) zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit \(W\) länger als 10 Minuten beträgt:

$$P(W>10)=1-P(W\le10)=1-\phi\left(\frac{10-\mu}{\sigma}\right)=1-\phi\left(\frac{10-7}{2}\right)$$$$\phantom{P(W>10)}=1-\phi(1,5)\approx1-0,9332=0,0668>0,05$$

Die Behauptung vom Doktor ist falsch. Nicht jeder 20-ste Patient, sondern etwa jeder 15-te \(\left(\frac{1}{0,0668}\approx\frac{1}{15}\right)\) Patient muss länger als 10 Minuten warten.

Comments

Wie kommt man von Phi(1.5) auf 0.9332 ?

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Das kannst du entweder in Tabellen zur Standard-Normalverteilung nachschlagen oder du hast eine Funktion "standnormvert(x)" auf dem Taschenrechner.

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Ich hätte einen Taschenrechner (CASIO fx 991DE X ClassWiz) mit kumulierte Normalverteilung. Mit diesem würde das also nicht gehen.

Auf welcher Internetseite könnte man das stattdessen ablesen?

Und warum rechnet man nicht 10 + 0.5?

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Berechnen kannst du die Standard-Normalverteilung \(\phi\) z.B. hier:

https://de.planetcalc.com/4986/

Achte darauf, dass die Varianz \(\sigma^2\) und nicht die Standardabweichung \(\sigma\) eingetragen werden muss. Für deine Aufgabe musst du also \((7|4|10)\) eingeben.

Die sog. Stetigkeitskorrektur (Addition/ Subtraktion von 0,5) wird benötigt, wenn man die kontinuierliche Normalverteilung auf Zufallsvariablen anwendet, die nur diskrete Werte annehmen können. Hier ist \(W\) eine Zeitangabe. Die Zeit ist eine kontinuierliche Größe. Daher ist keine Stetigkeitskorrektur nötig.

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Wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Patient weniger als 5 Minuten warten muss?

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$$P(W<5)=\phi\left(\frac{5-7}{2}\right)=\phi(-1)\approx0,1587\approx15,9\%$$