Zufallsvariablen: Aufgabe zu Wartezeiten an Bushaltestelle

Question

Aufgabe:

Nehmen sie an, dass an einer Bushaltestelle alle 15min ein Bus hält und die Wartezeit bis zum nächsten Bus im Intervall 0 bis 15 Minuten gleichverteilt ist.

Geben sie nachfolgend die Ergebnisse, als Dezimalzahl mit (falls nötig) vier Nachkommastellen und einen Punkt statt eines Kommas an!

a)

Wie lautet die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit einer Person mehr als 12 Minuten beträgt?

b)

Wie lautet der Mittelwert und die Standardabweichung der zugrunde liegenden Zufallsvariable X?

c)

Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, mit denen die Wartezeiten in die beiden Intervall (μ±σ) und  (μ±2σ) fällt.

Wie muss ich hier vorgehen? Wie kann ich mir die Frage erstma grafisch vorstellen? Und wie lautet die Formel für die Wahrscheinlichkeit hier? Ist das die Formel für den Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable?

Comments

Ich komme einfach nicht weiter.

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Ich habe dein Bild nun in einen Text umgewandelt. Nächstes Mal bitte selbst machen!

Answer 1

Das ist doch eigentlich ganz einfach! Hast du dir schon einmal den Wikipedia-Artikel durchgelesen?

Das ist eine stetige Gleichverteilung. Signalwort hierfür ist "Intervall". Du hast also ein Intervall von \([0;15]\)

Wie lautet die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit einer Person mehr als 12min beträgt?

Die stetige Gleichverteilung besteht aus einem endlichen Intervall, weshalb wir \([12;15]\) hier aus Intervall vorliegen haben bei \(P(X≥12)\). Deshalb folgende Rechnung:$$P(X≥12)=\frac{15-12}{15-0}=\frac{1}{5}$$ Erwartungswert und Standardabweichung:

Der Erwartungswert \(\mu\) wird wie folgt berechnet:$$\mu=\frac{a+b}{2}$$$$\mu=\frac{0+15}{2}=7.5$$ Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel aus der Varianz also:$$\sigma=\sqrt{\frac{1}{12}(b-a)^2}$$$$\sigma=\sqrt{\frac{1}{12}(15-0)^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$$Wahrscheinlichkeit für Intervalle:

Wenn dort steht \((\mu\pm\sigma)\), dann heißt das Intervall \([\mu+\sigma;\mu-\sigma]\):$$\left[7.5+\frac{5\sqrt{3}}{2};7.5-\frac{5\sqrt{3}}{2}\right]$$$$\left[11.83;3.17\right]$$ Die Wahrscheinlichkeit für dieses Intervall beträgt:$$P(3.17≤X≤11.83)=\frac{11.83-3.17}{15-0}=\frac{433}{750}$$

Comments

Das andere schaffst du nun hoffentlich alleine. Damit du verstehst wie ich das mit der Wahrscheinlichkeit gerechnet habe:

Du hast das "Stammintervall" \([a;b]\), in diesem Fall \([0;15]\). Außerdem hast du das Intervall \([c;d]\). Bei der ersten Wahrscheinlichkeitsrechnung war das z. B. \([12;15]\). Die Formel ist nun:$$P(c≤X≤d)=\frac{d-c}{b-a}$$

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Tausend Dank. Mein Kopf ist einfach voll.

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Das passiert mir auch manchmal. Kannst du auch die Wahrscheinlichkeit für das Intervall (μ±2σ) angeben? Habe das oben mit (μ±σ) schon vorgemacht!

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Bedeutet stetige Gleichverteilung dass mögliche Realisationen der Zufallsvariable (Wartezeit) alle die selbe Wahrscheinlichkeit besitzen?

Die Anzahl der Realisationen kann man ja nicht abzählen da die Zufallsvariable stetig ist.

Welche Formel für P(X≥x) verwendest du? Ich habe diese leider nicht in meinem Skript stehen. Um von stetigen Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit bei x auszurechnen habe ich lediglich die Formel des Integrals der Dichtefunktion von 0 bis x. Dasselbe gilt für den Erwartungswert. Lediglich bei der Varianz habe ich wieder dieselbe Formel die du verwendest.

Auch die Formel für die Intervall Wahrscheinlichkeit ist mir leider nicht bekannt.

Wie kann ich mir diese Aufgabe grafisch vorstellen (Histogramm)?

PS: Wenn ich die WS für μ±2σ nach der selben Methode wie du rechne, erhalte ich 1,1547, was ja nicht sein kann, da größer 1. Hier ist doch der selbe Vorgang notwendig, nur dass die Intervallgrenzen unterscheidlich sind da Sigma mit 2 multipliziert wird, oder nicht?

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Bedeutet stetige Gleichverteilung dass mögliche Realisationen der Zufallsvariable (Wartezeit) alle die selbe Wahrscheinlichkeit besitzen?

Richtig. Hier ist es eigentlich ganz offentsichtlich, weil eine diskrete Gleichverteilung z. B. für dein Busbeispiel nur die Werte (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15) aufzeigt. Die Wartezeit kann aber auch 5.324323432423342min  betragen.

Welche Formel für P(X≥x) verwendest du? Ich habe diese leider nicht in meinem Skript stehen.

Habe \(P(c≤X≤d)=\frac{d-c}{b-a}\) verwendet mit \([0;15]\) und \([12;15]\) Diese kannst du immer anwenden bei der Stetigen Gleichverteilung, das heißt bei \((≤ X ≤)\), \((X ≤\)) und  \((X ≥)\)).

Hier ist doch der selbe Vorgang notwendig, nur dass die Intervallgrenzen unterscheidlich sind da Sigma mit 2 multipliziert wird, oder nicht?

Genau. Was hast du denn für das Intervall raus?

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Ich habe folgendermaßen gerechnet

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 Die Formel kannst du bei \((\mu\pm 2\sigma)\) nicht anwenden, weil \([c,d]⊆[a,b]\) gelten muss. Ich erhalte nämlich als Intervall \([16.16;-1.16]\). In diesem Fall bin ich vorerst überfragt. Kann es vielleicht auch sein, dass das eine Schnapsfrage ist?

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Wie meinst du das, dass man die Formel nicht anwenden kann?

Ich denke nicht dass es sich bei ihr um eine Schnapsfrage handelt. Die Frage ist aus einem offiziellen Übungsangebot meiner Universität, bisher hatte ich keine Schnapsfrage gestellt bekommenen.

Also entweder kann man die Formel nicht anwenden (ich wüsste aber nicht weshalb, es hat sich lediglich die Standardabweichung vergrößert) oder in Zähler  bzw. Nenner ist ein Fehler.

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Weißt du was Teilmengen sind?

Stell dir jetzt mal vor der große Kreis ist das Intervall [a;b] ist. Der kleine Kreis repräsentiert das Intervall [c;d]. Das Intervall muss also Teil von [a;b] sein. Das ist bei [16.16;-1.16] nicht der Fall.

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Die Dichtefunktion einer stetigen Gleichverteilung sieht so aus:

Es ist dann ziemlich klar, dass man mehr als 100% erhält.

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Also ich habe mal die Varianzformel (xi-μ)^2 * Pi verwendet und für Pi 1/5 genommen sowie für xi 12.

Dann erhalte ich eine Standardabweichung von 9√5/10.

Wenn ich dann diesen Wert in die Formel der Wahrscheinlichkeit einsetze, erhalte ich schlussendlich den Wert 0,536 = 53,6%. Kann die Ursache also ein Rechenfehler bei der Varianz sein?

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Wieso (1/5). Die Wahrscheinlichkeit für einen zufällige Wartezeit beträgt (1/15).

Ich erhalte mit der Methode:$$\sigma^2=\sum_{x=0}^{15}{\frac{1}{15}(7.5-x)^2}=22.6666...$$ Das kann aber nicht stimmen, da das für eine diskrete Verteilung ist! Richtig ist:

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Ich verweise gerne noch mal auf den Wikipedia-Artikel:

https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Gleichverteilung

Hat vielleicht ein Mitleser noch einen Einwand?

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Du hast 1/12 anstelle von 1/15 geschrieben.

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Das hat nichts miteinander zutun.

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Guck mal was ich gefunden habe:

Die stetige Gleichverteilung legt einen Bereich fest, in dem ein unbekannter Wert mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu finden ist. Für Punkte außerhalb dieses Bereichs bedeutet die stetige Gleichverteilung die oft unrealistische Annahme, dass deren Wahrscheinlichkeit 0 ist. Diesen Mangel gleicht die Trapezverteilung dadurch aus, dass die Wahrscheinlichkeiten für Werte außerhalb eines Bereichs konstanter Wahrscheinlichkeit nicht abrupt, sondern linear auf 0 abfällt.

GENAU DAS, WAS WIR BRAUCHEN!!!

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Also wir haben ja jetzt das Intervall \([16.16;-1.16]\). Der Erwartungswert und die Varianz der Trapezverteilung wird wie folgt berechnet:$$\mu=\frac{((d+b)^2-db)-((a+c)^2-ac)}{3(d+b-a-c)}$$$$\sigma^2=\frac{(d^2+b^2)(d+b)-(a^2+c^2)(a+c)}{6(d+b-a-c)}$$ Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist wie folgt definiert:

Guck mal, was du herausfinden kannst. Kannst du deine Ergebnisse direkt überprüfen lassen?

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Wenn nicht, dann stell die Teilfrage noch einmal ein. Ich bin mir sicher, dass der Rest stimmt!

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Ich verstehe gerade nicht weshalb die Information relevant ist und wie du daraus die neuen Formeln gebildet hast.

Die Website ist seit gestern Abend down, niemand kann sie momentan erreichen, ich werde dir aber mitteilen, ob die Lösung stimmt.

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Ich glaube, dass du das Grundprinzip einer stetigen Gleichverteilung nicht verstehst.

Die Website ist seit gestern Abend down, niemand kann sie momentan erreichen, ich werde dir aber mitteilen, ob die Lösung stimmt.

Die Lösungen oben stimmen zu 99%! Bin mir dort ziemlich sicher. Mich würde der Rechenweg zu \((\mu\pm2\sigma)\) auch sehr interessieren, wenn du dort eine Musterlösung oder so hättest.

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Die Lösung ist 1, da die Wahrscheinlichkeit, HÖCHSTENS 16,1602 Minuten warten zu müssen 100% ist.

"Ich glaube, dass du das Grundprinzip einer stetigen Gleichverteilung nicht verstehst."

Da wirst du leider Recht haben.

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Habe ich doch gesagt. Alles was außerhalb des Definitionsbereichs ist, ist entweder 100% oder 0%! Stimmt der Rest?

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Ja, der Rest ist vollständig richtig. Ich hätte nochmal eine Frage zum Anfang hier. Die Formel die du für die Varianz stetiger ZV verwendet hast: In ihrer Grundform hast du schon 1/12 verwendet, was ist das Formal ausgedrückt?

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Was meinst du damit? Was heißt formal ausgedrückt?

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Wofür steht 1/12?

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Es steht für nichts. Es ist einfach in der Formel dabei. Die Varianz wird allgemein durch \(Var(X)=E(X^2)-E(X))^2\) berschrieben.  Daraus folgert man folgende Rechnung:$$\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}x^2\cdot 1dx-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$$ Das wird zu:$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{b^3-a^3}{n-a}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$$$$=\frac{1}{12}(4b^2+4ab+4a^2-3a^2-6ab-3b^2)$$$$=\frac{1}{12}(b-a)^2$$ Bei einer Kugel haben wir auch:$$V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3$$ Also warum wunderst du dich da so sehr?

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Du hast ja Recht. :)

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Kein Problem. Viel Glück beim Studium.

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Danke, morgen steht schon die Prüfung an. Die Punktzahl ist glücklicherweise nicht entscheidend.