Berechne den Wert der folgenden Reihe:

Question

Aufgabe:

Berechne den Wert der folgenden Reihe:

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \) \( \frac{1}{(k+4)(k+6)} \)

Answer 1

Hallo,

mache zunächst eine Partialbruchzerlegung:$$\begin{aligned} \frac{1}{(k+4)(k+6)} &= \frac{A}{k+4} + \frac{B}{k+6} \\ &= \frac{Ak+6A + Bk + 4B}{(k+4)(k+6)} \\ \implies A+B &= 0 \quad\land\quad 6A+4B =1 \\ \implies A&= \frac 12, \quad B= -\frac{1}{2} \\ \end{aligned}$$und Einsetzen nebst Index-Verschiebung gibt dann:$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+4)(k+6)} &= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac{\frac12}{k+4} - \frac{\frac12}{k+6}\right)\\ &= \frac12\left(\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k+4}\right) - \left(\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k+6}\right)\right) \\ &= \frac12\left(\frac 14 + \frac 15 + \left(\sum\limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k+4}\right) - \left(\sum\limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k+4}\right)\right) \\ &= \frac{9}{40}\end{aligned}$$Gruß Werner

Comments

\(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac1{k+4}\) und \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac1{k+6}\) sind nicht konvergent.

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... sind nicht konvergent.

stimmt! Aber Ihre Differenz schon ;-)

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Aber Ihre Differenz schon.

\(\infty-\infty=0\) ist problematisch.

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\(\infty-\infty=0\) ist problematisch.

kommt immer auf den konkreten Fall an. Bei$$\left(\sum\limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k+4}\right) - \left(\sum\limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k+4}\right) = \dots$$habe ich keine Bedenken, dies als \(\dots = 0\) zu deklarieren ;-)

Answer 2

Aloha :)

$$S_n\coloneqq\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{(k+4)(k+6)}=\sum\limits_{k=\pink5}^{n\pink{+5}}\frac{1}{(\pink{k-5}+4)(\pink{k-5}+6)}=\sum\limits_{k=5}^{n+5}\frac{1}{(k-1)(k+1)}$$$$\phantom{S_n}=\frac12\sum\limits_{k=5}^{n+5}\frac{2}{(k-1)(k+1)}=\frac12\sum\limits_{k=5}^{n+5}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac12\sum\limits_{k=5}^{n+5}\frac{1}{k-1}-\frac12\sum\limits_{k=5}^{n+5}\frac{1}{k+1}$$$$\phantom{S_n}=\frac12\sum\limits_{k=5\pink{-1}}^{n+5\pink{-1}}\frac{1}{\pink{k+1}-1}-\frac12\sum\limits_{k=5\pink{+1}}^{n+5\pink{+1}}\frac{1}{\pink{k-1}+1}=\frac12\sum\limits_{k=4}^{n+4}\frac{1}{k}-\frac12\sum\limits_{k=6}^{n+6}\frac{1}{k}$$$$\phantom{S_n}=\frac12\left(\frac14+\frac15+\sum\limits_{k=6}^{n+4}\frac{1}{k}\right)-\frac12\left(\sum\limits_{k=6}^{n+4}\frac{1}{k}+\frac{1}{n+5}+\frac{1}{n+6}\right)$$$$\phantom{S_n}=\frac{9}{40}-\frac12\left(\frac{1}{n+5}+\frac{1}{n+6}\right)\quad\stackrel{(n\to\infty)}{\to}\quad\frac{9}{40}-\frac12(0+0)=\frac{9}{40}$$