Berechnen Sie den Wert der folgenden Reihe:

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Wert der folgenden Reihe:

\( \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{2^{3 n-2}}{3^{2 n-1}} \)

Answer 1

Hallo Tim,

das könnte so gehen:$$\phantom{=}\sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{2^{3 n-2}}{3^{2 n-1}} \\ = \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{2^{3 n}}{3^{2 n}} \cdot \frac{3^1}{2^2}\\ = \frac{3}{4} \sum \limits_{n=2}^{\infty}\frac{\left(2^3\right)^n}{\left(3^2\right)^n} \\ = \frac{3}{4} \sum \limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{8}{9}\right)^n\quad\quad\quad ^*)\\ = \frac{3}{4}\left(\frac{1}{1-\frac{8}{9}}-1-\frac{8}{9}\right) \\ = \frac{3}{4}\left(8-\frac{8}{9}\right) \\ = \frac{3}{4}\cdot \frac{64}{9} \\ = \frac{16}{3} \\$$*) siehe auch 'geometrische Reihe'.

Answer 2

$$\sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{2^{3n-2}}{3^{2n-1}} \newline = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{2^{3(n+2)-2}}{3^{2(n+2)-1}} \newline = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{2^{3n + 4}}{3^{2n+3}} \newline = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{2^4}{3^3} \cdot \frac{2^{3n}}{3^{2n}} \newline = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{16}{27} \cdot \frac{8^n}{9^n} \newline = \frac{16}{27} \cdot \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{8}{9}^n \newline = \frac{16}{27} \cdot \frac{1}{1 - \frac{8}{9}} \newline = \frac{16}{27} \cdot 9 \newline = \frac{16}{3}$$