Trigonometrie: Wie vereinfache ich den Term tan^2 (α) / (1 + tan^2 (α))?

Question

Wie muss ich bitte bei folgender Aufgabe vorgehen?

a) Vereinfache den Term tan² (α) / (1 + tan² (α))

b) Drücke sin (α) durch cos (α) aus.

 

Freue mich über Hilfe!

Dankeschön

Sophie

Answer 1

Bonsoir Sophie,

a)

tan(a)^2/(1+tan(a)^2) = (sin(a)^2/cos(a)^2) / (1 + sin(a)^2/cos(a)^2)

= (sin(a)^2/cos(a)^2) / (1/cos(a)^2)   |(mit cos(a)^2+sin(a)^2 = 1)

= sin(a)^2

b) Das ist allgemein bekannt:

sin(a) = cos(π/2 + a)

Kannst Du auch schnell mit einem Schaubild überprüfen. Der Cosinus und der Sinus sind nur um 90° verschoben.

Grüße

Answer 2

$$\frac { { tan }^{ 2 }(\alpha ) }{ 1+{ tan }^{ 2 }(\alpha ) }$$Definition des Tangens einsetzen:$$=\frac { \frac { { sin }^{ 2 }(\alpha ) }{ { cos }^{ 2 }(\alpha ) }  }{ 1+\frac { { sin }^{ 2 }(\alpha ) }{ { cos }^{ 2 }(\alpha ) }  }$$mit cos ² ( α ) erweitern:$$=\frac { { sin }^{ 2 }(\alpha ) }{ { cos }^{ 2 }(\alpha )+{ sin }^{ 2 }(\alpha ) }$$ trigonometrischer Pythagoras:$$=\frac { { sin }^{ 2 }(\alpha ) }{ 1 }$$$$={ sin }^{ 2 }(\alpha )$$

Answer 3

a) Vereinfache den Term tan² (α) / (1 + tan² (α))

TAN(α)= G/A

(G/A)^2 / (1 + (G/A)^2)

(G^2/A^2) / (A^2/A^2 + G^2/A^2)

(G^2/A^2) / ((A^2 + G^2)/A^2)

(G^2/A^2) * (A^2/(A^2 + G^2))

G^2 / (A^2 + G^2)

G^2 / H^2

Oh G/H war ja auch die Definition für den SIN(α)also

G^2 / H^2 = SIN^2(α)

 

b) Drücke sin (α) durch cos (α) aus.

SIN(α) = G / H = √(H^2 - A^2)/H = √(1 - A^2/H^2) = √(1 - COS^2(α))

Das gilt allerdings nicht uneingeschränkt weil wir rechts den Betrag von SIN(α) stehen haben. Für Dreiecke gilt das aber.

Comments

G/H war ja auch die Definition für den COS also COS²(α)

G/H ist die Definition für den SIN, also SIN ² ( α )

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Ja. Du hast völlig recht.

Ich habe das mal verbessert.