Trigonometrie: Beweise die Formeln: 1 / cos^2 (α) = 1 + tan^2 (α)

Question

Bitte, ich bräuchte nochmals Hilfe bei folgenden Aufgaben:

Beweise die Formeln:

a) 1 / cos² (α) = 1 + tan² (α)

b) 1 / sin² (α) = 1 + tan² (90° -α)

Wie kann ich denn da ansetzen??

Danke Euch und liebe Grüße

Sophie                                                                                           

Answer 1

Hi,

Wenn Du weißt, dass tan(a) = sin(a)/cos(a) ist der Rest nicht mehr schwer ;).


a) 1 + tan(a)^2 = 1 + sin(a)^2/cos(a)^2 = (cos(a)^2 + sin(a)^2) / cos(a)^2 = 1/cos(a)^2


Es wurde also noch der trigonometrische Pythagoras verwendet.

b)

Genau gleiche Rechenschritte, wobei tan(90°-a) = sin(90°-a)/cos(90°-a)^2

Es ergibt sich dann

... = 1/cos(90°-a)^2

Mit dem Wissen, dass cos(90°-a) = sin(a) ist,

= 1/sin(a)^2


Grüße

Comments

Ziemlich simpel, danke trotzdem!

Sophie

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Wenn man weiß wo man anpacken muss, ist das meiste simpel^^.


De rien.

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Aber wo bleibt bei der Umformung (cos(α)²+sin(α)²)/cos(α)² das sin(α)² aus dem vorherigen Term?Grüße

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Da wird der trigonometrische Pythagoras benutzt.

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Begründung in diesem Video ist der Radius 1 die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks:

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=qJOIoWTLkGY

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Wie kommst du auf die 1 + sin(a)^2/cos(a)^2 es war doch 1/....

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Meinst Du dies?

1 + tan^{2}(a) = 1 + sin(a)^{2}/cos(a)^{2}

mit tan(a) = sin(a)/cos(a)

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Ja wie aus 1/              eine              1+ wird.

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Die 1 + bleibt doch da und nur der tan wird umgewandelt.

1 + tan(a)^2 = 1 + sin(a)^2/cos(a)^2 = (cos(a)^2 + sin(a)^2) / cos(a)^2 = 1/cos(a)^2

Iwann schreiben wir das auf einen Bruchstrich (1 = cos^2(a)/cos^2(a)), falls es das ist was du meinst ;).

Beachte weiterhin cos^2(a) + sin^2(a) = 1 (trigonometrischer Pythagoras).

Du siehst es nun?

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Oh ja! Entschuldige ich stand wohl auf dem Schlauch! Vielen Dank und ein schönes Wochenende noch.

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Hi,

leider habe ich die Aufgabe immer noch nicht verstanden. Wieso ist das schwarz eingekreiste sin (a)^2 plötzlich verschwunden? Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen :)

Mit freundlichen Grüßen

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Huhu,

das ist doch nicht verschwunden? Das steht in deinem rechten blauen Kasten ganz rechts noch da.

Hier wurde die 1 + sin²(a)/cos²(a) auf einen Bruchstrich geschrieben. Also die 1 geschrieben als cos²(a)/cos²(a) und dann kann man das ja auf einen Bruchstrich schreiben. Ok?