Zeigen sie die Nullfolge

Question

Aufgabe:

Entscheiden sie jeweils (mit einem Beweis oder Gegenbeispielen), ob a_n eine Nullfolge ist, falls es zu jedem ε > 0 ein n₀ ∈ ℕ gibt, sodass für alle n ≥ n₀ gilt:
(a)  |a_n+1|  < ε |a_n|

(b) |a_n²  + 2a_n+1| < ε

Problem/Ansatz:

Ich weiß zwar, was eine Nullfolge ist. Auch, dass eine Nullfolge die obrigen bedingungen erfüllen muss. Nur weiß ich nicht, wie ich die Aufgabe am besten löse.

Answer 1

Ich wähle für \(\epsilon\) irgendein e<1 und erhalte:

$$|a_{n_0+1}| <e|a_{n_0}| \Rightarrow |a_{n_0+2}| <e|a_{n_0+1}|<e^2|a_{n_0}| \Rightarrow |a_{n_0+3}| <e|a_{n_0+2}|<e^3|a_{n_0}|$$

$$\ldots \Rightarrow \Rightarrow |a_{n_0+m}| <e^m|a_{n_0}| \to 0 \text{  für } m \to \infty$$

Die Aussage b ist falsch: Betrachte etwas die konstante Folge \(a_n=-2\).