unendlich iterierende Wurzel

Question

Aufgabe:

Es gibt eine unendlich iterierende Wurzel \( \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1} +......} }\) , die als Folge rekursiv durch
a₁ := 1,       a_n+1 := \( \sqrt{1+ a_n} \) für n ∈ ℕ   definiert.

a) Zeigen sie, dass a_n  ≤ 2 für alle n∈ℕ ist.

b) Beweise, dass (a_n )  _n∈ℕ konvergiert und bestimme den Grenzwert.

Problem/Ansatz:

Ich hänge an der Aufgabe ziemlich lange und würde daher fragen, wie löse ich die Aufgabe?

Answer 1

Zu b):

Zeige, dass aus \(a_n\leq a_{n+1}\) folgt, dass \(a_{n+1}\leq a_{n+2}\) gilt.

Wegen \(a_1\leq a_2\) folgt dann, dass die Folge \((a_n)\)

monoton wächst und wegen \(a_n\leq 2\) folgt dann die Konvergenz.

Sei \(a\) der Grenzwert, dann gilt wegen der Stetigkeit der Wurzel

\(a=\sqrt{1+a}\). Hieraus kannst du \(a\) leicht bestimmen.

Comments

müsste der Grenzwert dann nicht 2 ergeben?

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Nein, warum?
2 ist nur eine obere Schranke, aber nicht das Supremum.

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Sei \(a\) der Grenzwert, dann gilt wegen der Stetigkeit der Wurzel \(a=\sqrt{1+a}\)

Dann gibt es 2 Lösungen?

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Eine der Lösungen kommt nicht in Frage. Warum wohl?

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Sie ist negativ, aber sie erfüllt deine Gleichung.

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Wenn a der Grenzwert ist, ergibt sich meine Gleichung.
Aber nicht jede Lösung der Gleichung liefert den Grenzwert.

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Wenn die 2. Lsg nicht negativ wäre, könnte man nicht so einfach erkennen, welche richtig ist.

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Da hast du Recht. In solchem Fall müsste man
sich das Verhalten der Folge (z.B. Monotonie) genauer
ansehen.

Answer 2

a) Zeigen sie, dass an ≤ 2 für alle n∈ℕ ist.

Zeige, dass wenn a(n) ≤ 2 gilt auch a(n + 1) ≤ 2.

Comments

Soll ich hier dann einen Induktive Beweis durchführen?