Zeigen Sie, dass für die Urbilder der Mengen A, B ⊂ N gilt:

Question

Aufgabe 3  Seien M, N Mengen und f : M → N eine Abbildung. Zeigen Sie, dass für die Urbilder der Mengen A, B ⊂ N gilt:
(a) f−1(A ∪ B) = f−1(A) ∪ f−1(B).

(b) f−1(A \ B) = f−1(A) \ f−1(B):

Answer 1

Einfach erstmal loslegen, sich fragen, was \(f^{-1}(A\cup B)\) bedeutet, wie \(\cup\) definiert ist, ...

\( \begin{aligned} f^{-1}(A \cup B) &=\{x \in M: f(x) \in A \cup B\} \\ &=\{x \in M: f(x) \in A \vee f(x) \in B\} \\ &=\{x \in M: f(x) \in A\} \cup\{x \in M: f(x) \in B\} \\ &=f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) \end{aligned} \)

Du solltest (b) nun schaffen.