Untergruppe von Z beweisen

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie:

(a) Ist \( X \subseteq \mathbb{Z} \) eine Untergruppe, so gibt es ein \( l \in \mathbb{N}_{0} \) mit \( X=\mathbb{Z} \cdot l \).
Hinweis: Falls \( X \supsetneq\{0\} \), wählen Sie \( l:=\min (X \cap \mathbb{N}) \).

(b) Für \( m, n \in \mathbb{Z} \) ist \( X(m, n):=\{a n+b m \mid a, b \in \mathbb{Z}\} \) eine Untergruppe von \( \mathbb{Z} \), die sowohl \( \mathbb{Z} \cdot m \) als auch \( \mathbb{Z} \cdot n \) enthält.

Problem/Ansatz:

Hey, liebe Mathelounge Community, ich bräuchte mal eure Hilfe

Kann mir, wer bitte einen Ansatz zeigen

LG

Answer 1

Falls \( X \supsetneq\{0\} \), wählen Sie \( l:=\min (X \cap \mathbb{N}) \).

Soll das nicht

Falls \( X \ne \{0\} \), wählen Sie \( l:=\min (X \cap \mathbb{N}) \).

heißen.

Für \( X = \{0\} \) wähle \( l =0 \), ansonsten folge dem Tipp.

b)  \( X(m, n):=\{a n+b m \mid a, b \in \mathbb{Z}\} \)

ist eine Untergruppe von ℤ.

abgeschlossen: Sind x,y aus   \( X(m, n) \) dann gibt es

a,b ∈ ℤ mit x = a n+b m

und c,d ∈ ℤ mit y = c n+d m. Dann ist

x+y = (a n+b m )+  (c n+d m )lässt sich mit den Gesetzen umformen zu

(a+c)n + (b+d)m ist also auch in \( X(m, n) \), da a+c und b+d in ℤ.

0 ist in \( X(m, n) \) weil man  a=b=0 wählen kann.

Das Inverse von x = a n+b m ist   -a n+(-b) m also auch in \( X(m, n) \).

Für a=0 bleiben die Elemente von \( \mathbb{Z} \cdot m \), also ist

\( \mathbb{Z} \cdot m \) enthalten. etc.

Comments

Danke, hättest du noch einen Ansatz für die a)

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wie gesagt: Für \( X = \{0\} \) wähle \( l =0 \), ansonsten folge dem Tipp.

Letzteres genauer so: Sei \( X \ne \{0\} \).

==> \(  \exist n \in\mathbb{Z}     n \ne 0   ∧  n \in X \)

X ist Untergruppe.
==> \(  -n \in X \)

Also gibt es in X positive und negative Zahlen.

==>  \(  \exist l \in X     l=min(\{ z \in X ∧   z>0 \}) \)  .

Bleibt zu zeigen: \( X ⊆ \mathbb{Z} \cdot l \) und  \( X⊇\mathbb{Z} \cdot l \)

1. Da \(  l \in X \) und X Untergruppe, ist auch   \(  l+l \in X \) und

\(  l+l+l\in X \) etc, und auch \(  0 \in X \).

Also   \(  k\cdot l \in X \) für alle \(  k \in \mathbb{N} \).

Wegen Untergruppe also auch \(  -k\cdot l \in X \) für alle \(  k \in \mathbb{N} \),

somit    \( X ⊆ \mathbb{Z} \cdot l \).

Umgekehrt: Angenommen es gibt \(  u \in X \) und   \( u ∉ \mathbb{Z} \cdot l \).

==>   \(  \exist k \in \mathbb{Z}        k\cdot l \lt u \lt (k+1)\cdot l \)

==>  \(  0 \lt u - k\cdot l \lt  l \) 

Und mit u und l ist auch   \(  u - k\cdot l \in X \)

Wegen   \(  0 \lt u - k\cdot l \lt l \)   ein Widerspruch zur

Minimalität von \(   l \).   q.e.d.