Wenn X=Y=∅ ist oder die Mengen 1-elementig sind, gilt die Aussage offenbar.
Für mehr als ein Element in X und Y : Sei f injektiv und sei u∈Y .
Wir zeigen die Surjektivität von f: Es gibt ein v∈X mit f(v)=u.
Angenommen, es gäbe kein v∈X mit f(v)=u. Dann wäre u∉f(X).
Also hätte f(X) wegen der Endlichkeit der Mengen weniger
Elemente als Y und damit auch weniger als X.
Es müssten also mindestens 2 Elemente von X auf das gleiche
Element von Y abgebildet werden, im Widerspruch zur Injektivität.
Also ist f surjektiv.
Umgekehrt: f surjektiv ==> f injektiv
Wegen der Endlichkeit gilt : f surjektiv ==> f(X) =Y
Angenommen f nicht injektiv. ==> Es gibt a,b ∈X mit a≠b und f(a)=f(b).
Da es zu jedem v∈X ein f(v) in Y geben muss, kann f(X) höchstens n (Anzahl
der Elemente in X und Y) Elemente haben. Wegen f(a)=f(b) hat aber
f(X) höchstens n-1 Elemente. Im Widerspruch zu f(X) =Y.
