Zeigen Sie, dass ^n√a < ^n√b gilt (Analysis 1)

Question

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Aufgabe 1. (4 Punkte)
Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( 0<a<b \) und \( n \in \mathbb{N} \) beliebig. Zeigen Sie, dass
\( \sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b} \)
gilt.

Aufgabe: Seien a, b ∈ R mit 0 < a < b und n ∈ N beliebig. Zeigen Sie, dass ^n√a < ^n√b gilt. (Wurzel von a hoch n und ebenso Wurzel b hoch n).

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand vielleicht zeigen, wie diese Aufgabe funktioniere würde. Dankeschön! :)

Comments

\(\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b} \) heißt nicht

"Wurzel von a hoch n und ebenso Wurzel b hoch n"

sondern "n-te Wurzel von a  und ebenso n-te Wurzel b "

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Genau, da haben Sie recht.

Answer 1

Sei \(x\geq y\) mit \(x,y\geq 0\). Dann gilt

\(x^2=x\cdot x\geq y\cdot y=y^2\), wie man aus den Regeln für "\(\geq\)"

ersehen kann. Ist nun bereits \(x^n\geq y^n\) gezeigt, so gilt auch

\(x^{n+1}=x\cdot x^n\geq y\cdot y^n=y^{n+1}\). Gemäß vollst.

Induktion ist also \(x^n \geq y^n\) für alle nat. \(n > 0\).

Nun führe \(0<a<b\) und zugleich \(\sqrt[n]{a}\geq \sqrt[n]{b}\) zum Widerspruch.

Comments

Vielen Dank! Sehr hilfreich.