Aufprallgeschwindigkeit einer Kugel berechnen (mit Differentialqoutient)

Question

Aufgabe:

Eine Kugel wird von der Dachkante eines Gebäudes lotrecht nach oben geschossen. Nach \( t \) Sekunden hat sie die Höhe h erreicht ( \( h \) in \( \mathrm{m} \) ).

1) Berechne näherungsweise mit Hilfe von sehr kleinen Intervallen die Anfangsgeschwindig keit, mit der die Kugel abgeschossen wurde.

2) Nach wie viel Sekunden schlägt die Kugel auf dem Boden auf? Berechne näherungsweish die Aufprallgeschwindigkeit der Kugel.

a) \( h(t)=105+20 t-5 t^{2} \)

b) \( h(t)=40+35 t-5 t^{2} \)

c) \( h(t)=180+45 t-5 t^{2} \)

d) \( h(t)=70+25 t-5 t^{2} \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider bei der Nummer 99a Nr 2 nicht wie ich das genau rechnen soll. Wie sollen den meine Intervalle ungefähr aussehen um sie mit dem Differenzenquotienten auszurechnen?

Answer 1

Hallo :-)

Im Prinzip sollst du für alle vier Fälle a),b),c),d) die Aufgabe 1) und 2) durchgehen. Den Anfang beschreibt hier immer der Zeitpunkt \(t=0\). Und jetzt sollst du jeder dieser Funktionen auf einem Intervall der Form \([a,b]\) mit \(a\leq b\) betrachten.

Alle Funktionen \(h\) aus a),b),c),d) beschreiben den Ort zum Zeitpunkt \(t\). Nun interessiert dich die Veränderung des Ortes für einen ,,sehr kleinen" Zeitabschnitt \([a,b]\).

Aus der Physik kennst du sicherlich die Formel für die Geschwindigkeit für eine gleichförmige (unbeschleunigte) Bewegung: ,,\(\text{Geschwindigkeit}=\frac{\text{Streckenunterschied}}{\text{Zeitunterscheid}}\)".

Und das wendest du hier an:

a) \( h(t)=105+20 t-5 t^{2} \)

Zu 1) betrachtest du also das Intervall \([0,t_x]\) mit

$$ v=\frac{h(t_x)-h(0)}{t_x-0}=\frac{105+20\cdot t_x-5\cdot t_x^2-105}{t_x}=\frac{20\cdot t_x-5\cdot t_x^2}{t_x}=20-5\cdot t_x $$

Und wenn man jetzt sehr kleine Werte für \(t_x\) einsetzt, dann bekommt man näherungsweise die Anfangsgeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=0\) durch \(v=20-5\cdot t_x\approx 20\). An dieser Stelle wärst du nun mit 1) fertig. Das war jetzt der Differenzenquotient.

Machst du nun eine Grenzwertbetrachtung mit dem Differentialquotienten, dann bekommst du die exakte Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=0\) durch

$$ v_{t_x}=\lim\limits_{t_x\to 0} \frac{h(t_x)-h(0)}{t_x-0}=\lim\limits_{t_x\to 0} (20-5\cdot t_x)=20. $$

Zu 2) musst du die Nullstellen bestimmen: Betrachte also \(h(t)=0\). Zur Kontrolle \(t_1=-3, t_2=7\). Da hier nur nichtnegative Zeiten betrachtet werden, ist also nur \(t_2=7\) als einzige Nullstelle sinnvoll zu betrachten. Dieser Zeitpunkt ist also derjenige, bei dem die Kugel die Höhe \(h=0\) besitzt. Auch hier ist wieder die Geschwindigkeit gefragt, unzwar kurz vorm Aufprall, bzw. beim Aufprall (Grenzwertbetrachtung). Hier betrachtet man also ein Intervall der Form \([t_a,7]\) mit \(t_a\leq 7\). Und jetzt folgt dasselbe Prinzip wie schon in 1) angewandt:

$$ v=\frac{h(t_a)-h(7)}{t_a-7}=\frac{105+20\cdot t_a-5\cdot t_a^2-0}{t_a-7}=\frac{105+20\cdot t_a-5\cdot t_a^2}{t_a-7}\\[15pt]\stackrel{\text{Polynomdivision}}{=} \frac{(t_a-7)\cdot (-5\cdot t_a-15)}{t_a-7}=-5\cdot t_a-15$$

Und wenn man jetzt Werte für \(t_a\) nahe bei \(7\) einsetzt, dann bekommt man näherungsweise die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=7\) durch \(v=-5\cdot t_a-15\approx -50\), bis auf das Vorzeichen. Aber das kann man so interpretieren, dass die Kugel beim ,,Runterfallen" seine Bewegung in Richtung Boden vollzieht.

Eine Grenzwertbetrachtung liefert analog die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=7\), beim Aufprall. Also

$$ v_{t_a}=\lim\limits_{t_a\to 7} \frac{h(t_a)-h(7)}{t_a-7}=\lim\limits_{t_a\to 7} (-5\cdot t_a-15)=-50. $$

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, hat mir sehr weitergeholfen!!

Answer 2

1)

Geschwindigkeit ist Veränderung der Höhe pro Zeit. Ausgerechnet wird sie hier mit der ersten Ableitung der Funktion h(t) nach t. Für die Anfangsgeschwindigkeit, setze t = 0 in die Ableitungsfunktion ein.

2)

Für den Zeitpunkt der Landung, rechne h(t) = 0 aus. Dabei kann man die Mitternachtsformel anwenden. Für die Landegeschwindigkeit, setze diese Zeit in die Ableitungsfunktion ein.

Auf Polynomdivision wie andernorts auf dieser Seite habe ich verzichtet. Man braucht sie hier nicht.

Wie sollen den meine Intervalle ungefähr aussehen um sie mit dem Differenzenquotienten auszurechnen?

In der Aufgabe steht "Differentialquotient".

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