Zeigen Sie, dass Vektorraum V unendlich dimensional ist, wenn es eine Folge gibt, dass (v1,...,vn) linear unabhängig

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass ein Vektorraum V genau dann unendlich dimensional ist, wenn es eine Folge
v1, v2, . . . von Vektoren aus V gibt, sodass (v1, . . . , vn) für jede positive ganze Zahl n linear
unabhängig ist.

Problem:

Ich verstehe zwar die Aufgabenstellung, jedoch habe ich gar keinen Ansatz, wie der Beweis geführt werden soll.

Answer 1

Hallo

wenn V endlich wäre gäbe es zu dem N  n do dass für  alle n>N die Vektoren  v1 bis vn linear abhängig wären,  in jedem endlich dimensionalen VR der Dim N gibt es maximal N linear unabhängige Vektoren

Gruß lul

Comments

Servus,

danke erstmal.
Also ich denke ich verstehe das soweit richtig, dass, falls V endlich dimensional wäre, so gäbe es in dem VR V der endlichen Dimension N maximal N linear unabhängige Vektoren?

Daraus folgerst du, dass (v1,...,vn) linear abhängig wäre, da alle Vektoren n>N linear abhängig wären.

Das wäre soweit erstmal die Hinrichtung, wir müssen aber, so wie ich die Aufgabenstellung verstehe, auch die Rückrichtung noch machen.