Hallo!
Es handelt sich wieder um Reihen. Die Aufgabenstellung lautet: Untersuche die Konvergenz oder Divergenz folgender Reihen (kombiniere Abschätzungen und Kriterien)
Passen die Berechnungen soweit? Muss ich hier was verbessern. Könnt ihr mir erklären, was hier falsch ist? Über eine Rückmeldung würde ich mich sehr freuen.
Problem/Ansatz:
j) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \frac{2^{k}}{1+3^{k}} \)
Wurzelkriterium:
\( k \sqrt{\frac{1}{k} \frac{2^{k}}{1+3^{k}}} \leqslant \sqrt{\frac{1}{k} \frac{2^{k}}{3^{k}}} \Rightarrow \frac{2}{3}<1 \Rightarrow \) KONVERGENZ
Quotientenkriterium:
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \cdot \frac{2^{k}}{3^{k}} \\ \frac{\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}}}{\frac{2^{k}}{3^{k}}}=\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}} \cdot \frac{3^{k}}{2^{k}}=\frac{2^{k} \cdot 2}{3^{k} \cdot 3} \cdot \frac{8^{k}}{2^{k}} \rightarrow \frac{2}{3}<1 \Rightarrow \text { Konvergenz } \Rightarrow \\ \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \text { f) } \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1+\sqrt{k}}{k^{2}} \\ \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1+k^{\frac{1}{2}}}{k^{2}} \sim \text { Abschätzung: } \frac{k^{\frac{1}{2}}}{k^{2}}=k^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{k^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow \text { Konvergenz } \end{array} \)
Konvergente Majorante:
\( \begin{array}{l} \frac{1+k^{\frac{1}{2}}}{k^{2}} \leqslant \frac{k^{\frac{1}{2}}+k^{\frac{1}{2}}}{k^{2}}=\frac{2 k^{\frac{1}{2}}}{k^{2}}=2 \cdot \frac{1}{k^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow \text { Konvergenz!} \\ \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1+k^{\frac{1}{2}}}{k^{2}} \leqslant 2 \cdot \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow \text { konvergiert } \end{array} \)
