Aloha :)
Die Punkte der Menge$$K=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x^2+(y-1)^2\le4\}$$liegen auf einem Kreis mir Radius \(r=\sqrt4=2\) und Mittelpunkt \(M(0|1)\), und zwar auf der gesamten Fläche und auf dem Rand. Für die Berechnung des Integrals brauchen wir einen Ortsvektor \(\vec r\), der vom Ursprung ausgehend alle Punkte der Fläche abtastet. Wir wählen dazu anstatt der kartesischen Koordinaten \((x;y)\) Polarkoordinaten \((r;\varphi)\):$$\vec r=\binom{0}{1}+\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}=\binom{r\cos\varphi}{1+r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$
An der Stelle \(\vec r\) können wir mit Hilfe der Kettenregel jede infinitesimale Änderung \(d\vec r\) entlang der neunen Koordinatenachens ausrücken:$$d\vec r=\frac{d\vec r}{dr}\,dr+\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi=\binom{\cos\varphi}{\sin\varphi}dr+\binom{-r\sin\varphi}{r\cos\varphi}d\varphi$$Die von diesen beiden Vektoren aufgespannte Fläche liefert und das Flächenelement \(df\). Wir berechnen es mit der Determinante:$$df=\left|\begin{array}{c}\cos\varphi\,dr & -r\sin\varphi\,d\varphi\\\sin\varphi\,dr & r\cos\varphi\,d\varphi\end{array}\right|=r\cos^2\varphi\,dr\,d\varphi+r\sin^2\varphi\,dr\,d\varphi=r\,dr\,d\varphi$$
Jetzt haben wir alles gesammelt, um das Integral leich berechnen zu können:$$I=\int\limits_K(x^2+3y^2+1)\,d\lambda^2=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(\underbrace{(r\cos\varphi)^2}_{=x^2}+3\underbrace{(1+r\sin\varphi)^2}_{=y^2}+1)\,\underbrace{r\,dr\,d\varphi}_{=d\lambda^2}$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(r^2\cos^2\varphi+\pink3(1+2r\sin\varphi+\pink{r^2\sin^2\varphi})+1)\,r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(\underbrace{(r^2\cos^2\varphi+\pink{r^2\sin^2\varphi})}_{=\blue{r^2}}+\green3+6r\sin\varphi+\pink{2r^2\sin^2\varphi}+\green1)\,r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(\blue{r^2}+\green4+6r\sin\varphi+2r^2\red{\sin^2\varphi})\,r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(r^2+4+6r\sin\varphi+2r^2\cdot\red{\left(\frac12-\frac12\cos(2\varphi)\right)}\right)\,r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(r^2+4+6r\sin\varphi+r^2-r^2\cos(2\varphi)\right)\,r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(r^3(2-\cos(2\varphi))+4r+6r^2\sin\varphi\right)\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^2\left[r^3\left(2\varphi-\frac12\sin(2\varphi)\right)+4r\varphi-6r^2\cos\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}dr$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^2\left(4\pi r^3+8\pi r\right)dr=\left[\pi r^4+4\pi r^2\right]_0^2=32\pi$$
