Wie bestimmt man den kleinsten Unterring?

Question

Aufgabe:

Sei A ein kommutativer Ring, B ein Unterring von A und
x ∈ A. Dann ist der kleinste Unterring C von A mit B ∪ {x} ⊆ C

$$B[x] := \left\{\sum \limits_{k=0}^{\ n}a_{k}x^{k}: n\in N_{o}, a_{0}, ... a_{n}\in \ B\right\}$$

Hi, ich habe echt paar Probleme, diese Definition zu verstehen. Diese ist auch ziemlich wichtig, da mit dieser weitergearbeitet wird. Ich weiß, dass das hier keine Aufgabe ist und hoffe daher das es in Ordnung ist. :)

Problem/Ansatz:

… Mir ist bewusst, was ein Unterring, Ring etc. ist und eig. kann ich die Definiton auch lesen nur verstehe ich das Konzept nicht wirklich und inwiefern, das dann aussagen, soll, dass es der kleinste Unterring ist. Außerdem soll die Definiton aussagen, dass B x adjungiert sein soll (habe die Definiton von adjungieren aufgeschlagen und macht für mich immernoch kein Sinn :/).

Answer 1

Es geht ja darum, dass man zu einem Unterring B eines Ringes A

ein Element x∈A hinzufügen möchte.

Im Normalfall bleibt es dann kein Unterring. Z.B. wenn du in ℤ den

Unterring 4ℤ betrachtest (also alle Vielfachen von 4) .

Wenn du jetzt dem Unterring etwa die 2 hinzufügst, dann ist

4ℤ∪{2} natürlich kein Unterring von ℤ; denn es ist ja z.B. nicht

abgeschlossen gegenüber +.  Denn es ist 4 ∈4ℤ∪{2} und 2 ∈4ℤ∪{2}

aber deren Summe nicht. Also müsste man jedenfalls die 6 hinzunehmen.

2+6 =8  wäre dann enthalten , aber z.B. 2+8 nicht, also muss auch noch

die 10 mit, damit es ein Unterring wird. etc.

Und was in der Def. mit behauptet wird, ist:

Wenn man alle Potenzen von x nimmt, in unserem Beispiel also

2^0 , 2^1 , 2^2  ... also 1,2,4,8,16 etc und alle möglichen

Linearkombinationen von diesen mit Faktoren aus B , dann erhält man

tatsächlich einen Unterring von A und zwar den kleinst möglichen,

der außer B auch das x enthält.

In meinem Beispiel sind aber die Potenzen, die noch nicht in B liegen ja nur

1 und 2.  Also braucht man bei 4ℤ tatsächlich nur alle

Summen a_o*1 + a₁*2 mit ao,a1 ∈4ℤ  zu bilden und erhält diesen Unterring vonℤ.

Das gibt dann den Ring 2ℤ.

Comments

Du lässt Ringe ohne 1 zu?
Das kann man machen, es ist aber zum Beispiel im
Rahmen der Kategorientheorie oder in der homologischen
Algebra unüblich.

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Habs mir Schritt für Schritt durchgelesen und war mir eine große Hilfe. Danke vielmals :)

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Ich habe nur noch eine Frage, kann das Element aus x beliebig gewählt werden, weil dann ja immer ein anderer kleinsterer Unterring rauskommen würde. Bspw. für x=1 oder x=5 müsste es ja einfach wieder Z sein.

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Wenn du z.B. x=5 nimmst, dann musst du ja

bei meinem Beispiel in 4ℤ die Potenzen von 5betrachten,

die sind alle = 1.

In der Summe  \(\sum \limits_{k=0}^{\ n}a_{k}x^{k} \) bleibt dann

nur 1 Summand   a_ox^0 =  a₀  und das gibt dann in

der Tat ganz ℤ.

Answer 2

Jedes Element von \(C\) kann man bilden indem man ein paar Elemente aus \(B\) miteinander multipliziert und anschließend mit eine Potenz von \(x\) multipliziert.

Comments

Erstmal danke für die Antwort.

Das macht jetzt schon mehr Sinn, aber warum ist der Unterring, dann der kleinstmögliche? Was genau bedeutet dann B adjungiert x, bedeutet es, dass zu den Elementen von B eine Potenz von x zu jedem dazugehörigen Element von B dazumultipliziert wird?

Answer 3

Sei \(B[X]\) der Polynomring in einer Unbestimmten über \(B\).

Ist \(x\in C\), so betrachtet man die Auswertungs-Abbildung

\(\varphi:B[X]\rightarrow C,\; p\mapsto p(x)\). \(B[x]\) ist definiert als Bild(\(\varphi\)).