Gebrochene f(x): Geben Sie eine Funktion an mit...; Definitionsmenge, Verhalten Definitionslücke..

Question

Aufgabe:

a) Geben Sie eine rationale Funktion an mit:
    - einer Polstelle bei x = – 2 ohne Vorzeichenwechsel
    - einer behebbaren Definitionslücke bei x = 3
    - einer Asymptote bei y= –  ½
    - sowie einer Nullstelle bei x = 0.

b) Geben Sie die Definitionsmenge sowie das Verhalten an den Definitionslücken von
          f(x) =  (2x² – 4) / (4 –x)² an
          und bestimmen Sie alle Nullstellen und Gleichungen aller Asymptoten der Funktion.

Problem/Ansatz:

Gebrochen- Rationale-Funktionen

Answer 1

a)

y = x·(x - 3)/((x + 2)^2·(x - 3)) - 1/2

b)

y = (2·x^2 - 4)/(4 - x)^2
y = 2·(x^2 - 2)/(x - 4)^2

Nullstellen

x^2 - 2 --> x = - √2 ∨ x = √2

Polstellen

(x - 4)^2 = 0 → x = 4 (2-fach) → D = R \ {4}

lim (x → 4+) 2·(x^2 - 2)/(x - 4)^2 = ∞
lim (x → 4-) 2·(x^2 - 2)/(x - 4)^2 = -∞

Horizontale Asymptote

lim (x → ±∞) 2·(x^2 - 2)/(x - 4)^2 = 2