Aufgabe:
Es sei \( f: C \rightarrow \mathbb{R}, C \subset \mathbb{R}^{n} \) konvex, stetig differenzierbar und \( x_{0} \in C \) ein innerer Punkt mit \( \nabla f\left(x_{0}\right)=0 \).
1. Es sei \( f \) konvex, dann hat \( f \) and \( x_{0} \) ein globales Minimum.
2. Es sei \( f \) konkav, dann hat \( f \) and \( x_{0} \) ein globales Maximum.
Problem/Ansatz:
Am kritischen Punkt liegt kein globales Extremum vor sodass ein \( y_{0} \) existiert, das dem widerspricht. Mit Hilfe des Differenzenquotienten zur Richtungsableitung in Richtung von \( x_{0} \) nach \( y_{0} \) und unter Verwendung der Konvexität/Konkavität sollte ein Widerspruch zu \( \nabla f(x)=0 \) hergeleitet werden.
Hoffe jemand könnte mir das beweisen. Vielen Dank im Voraus
