Wie wäre die Ableitung vom arctan hergleitet mithilfe der bekannten Ableitungsregeln?

Question

Aufgabe:

Wie wäre die Ableitung vom arctan hergleitet mithilfe der bekannten Ableitungsregeln?

Answer 1

Die Ableitung des \(\arctan\) kann wie folgt hergeleitet werden:$$\begin{aligned}f(x)&=\arctan x\\\tan f(x)&=x\\\big(1+\tan^2f(x)\big)\cdot f^\prime(x)&=1\\f^\prime(x)&=\frac1{1+\tan^2f(x)}=\frac1{1+x^2}.\end{aligned}$$

Dabei wurde \(\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\tan x=\frac1{\cos^2x}=1+\tan^2 x\), sowie die Kettenregel verwendet.

Comments

wie kommt man auf die dritte Zeile:

(1+ tan^2(x)) f‘(x) = 1?????

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Die dritte Zeile ergibt sich aus der zweiten durch Ableiten:

Aus \(\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\tan f(x)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}x\ \) folgt \(\ \big(1+\tan^2f(x)\big)\cdot f^\prime(x)=1\).

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verstehe ich leider nicht :/

warum verwendest du die Ableitung?

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warum verwendest du die Ableitung?

Und ich verstehe DIESE Frage nicht.

Willst du die Ableitung von arctan(x) haben, oder willst du sie nicht?

Im nächsten Schritt siehst du, dass man so die Ableitung von arctan(x) bekommt.

Es gibt einen allgemeinen Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion, und der wurde hier verwendet. Das konnte man machen, weil man die Ableitungsfunktion der Umkehrfunktion hier kannte.

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Wenn du \(\tan f(x)\) nach der Kettenregel ableitest (also innere Ableitung mal äußere Ableitung), erhältst du als innere Ableitung den Faktor \(f^\prime(x)\). Das ist gerade das, was du berechnen willst. Anschließend musst du nur noch nach \(f^\prime(x)\) auflösen.

Answer 2

Guck mal hier:

https://www.mathe-online.at/mathint/diff1/i_beweisinvWfun.html

Comments

ja, aber ich möchte die gerne hergeleitet haben