Wie kann man dieses Beweis beenden?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Wie kann man dieses Beweis beenden?

LG

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An die Moderatoren des Forums:

Bitte nicht löschen, da ich mir bei der Antwort Mühe gegeben habe :)

Answer 1

Guten Morgen, Ich habe fast alles niedergeschrieben, du musst nur noch einsetzen und nachvollziehen:

Induktionsvoraussetzung [IV]:

Es existiert mindestens ein \(n\geq 1\), s.d.  \(4^n(n!)^3<(n+1)^{3n}\)

IS:
n=n+1 ergibt keinen Sinn und ist für jede natürliche Zahl falsch.

\(n \rightarrow n+1\)   

$$4^{n+1}((n+1)!)^3=4\cdot4^n((n+1)n!)^3=4\cdot(n+1)^3\cdot 4^n(n!)^3 \overset{IV}{<}4\cdot(n+1)^3\cdot (n+1)^{3n}$$

Hier wurde also die Induktionsvoraussetzung verwendet, welche für mindestens eine natürliche Zahl gilt. Weiter:

$$4\cdot(n+1)^3\cdot (n+1)^{3n}=4\cdot (n+1)^{3(n+1)}\overset{(*)}{<}...$$

Nebenrechnung und entscheidender Trick:

$$(*) \, 4=1+[3(n+1)]\cdot \frac{1}{n+1}\overset{\text{Bernoulli-Ungl.}}{<}\bigl(1+\frac{1}{n+1} \bigr)^{3(n+1)}= \bigl( \frac{n+2}{n+1} \bigr)^{3(n+1)}= \frac{(n+2)^{3(n+1)}}{(n+1)^{3(n+1)}} $$

Allgemein fand ich diese Erklärung des Induktionsprinzips sehr nützlich:

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/beweisverfahren-der-vollstaendigen-induktion

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung! , aber trotzdem hab ich eine Sache nicht verstanden, wie Sie die Bruch (1/(n+1)) bekommen :(((

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Gerne :) Ich verstehe nicht exakt, was deine Frage ist.

Bei dem Beweis kommt man irgendwann an diese Stelle:

\(4\cdot(n+1)^3\cdot (n+1)^{3n}=4\cdot (n+1)^{3(n+1)}\overset{(*)}{<}...\)

Es ist klar, dass:

\((n+1)^{3(n+1)}< (n+2)^{3(n+1)}\)

Das Problem ist der Faktor \(4\) vor \((n+1)^{3(n+1)}\):

\( 4=1+3=1+3\cdot 1=1+3\cdot \frac{n+1}{n+1}=1+[3(n+1)]\cdot \frac{1}{n+1}<...\)

In dieser Form kann man die strikte Bernoulli-Ungleichung anwenden:

https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Ungleichung#Strikte_Ungleichung

\([3(n+1)]\geq 2\) ist der Exponent und \(x= \frac{1}{n+1}>-1\).