Divergenz von Vektorfeld berechnen Betrag des Ortsvektos multiplizier mit dem Ortsvektor, Ergebis falsch?

Question

Aufgabe:

Divergenz von \(\vec f(\vec r)=r^2\hat r\) berechnen mit \(r=|\vec r |\)

Problem/Ansatz:

$$\nabla\cdot (r^2\hat r)=\nabla\cdot (r^2\frac{\vec r}{r})=\nabla\cdot (r\vec r)=\nabla\cdot (\begin{pmatrix} x\\y \\z\end{pmatrix}\sqrt{x^2+y^2+z^2})=r+(x^2+y^2+z^2)r^{-1}=r+r=2r$$

In der Musterlösung ist das ergebnis \(4r\), wo liegt mein Fehler?

btw: Gibt es eine Abkürzung, um nicht immer manuell die Kennzeichnung bei Latex-Eingaben zu schreiben?

Answer 1

Aloha :)

Du musst bei der Divergenz die partiellen Ableitungen der Komponenten addieren.

Für die \(k\)-te Komponente erhalten wir:$$\frac{\partial}{\partial x_k}\left(x_k\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\right)=1\cdot\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}+x_k\cdot\frac{2x_k}{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}=r+\frac{x_k^2}{r}$$

In Summe heißt das:$$\vec\nabla\left(\vec r\,r\right)=\left(r+\frac{x_1^2}{r}\right)+\left(r+\frac{x_2^2}{r}\right)+\left(r+\frac{x_3^2}{r}\right)=3r+\frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2}{r}=3r+\frac{r^2}{r}=4r$$