Question

Wie löse ich $$ z^3 = 8 $$ mithilfe der quadratischen Ergänzung?

Bei einigen Aufgaben davor war dies kein Problem/sehr ersichtlich aber bei dieser Gleichung habe ich nur andere Ansätze (Winkel, quadratische Formel)...

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Tipp: Die Gleichung \(z^3=8\) ist äquivalent zu \(0=z^3-2^3=(z-2)\cdot(z^2+2z+4)\).

Answer 1

Hallo

"mithilfe der quadratischen Ergänzung" geht das sicher nicht!

aber 8*1 =8*e^i*k*2π oder 8*(cos(k*2π)+isin(k*2π)) k=0,1,2

Gruß lul

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...geht das sicher nicht!

Doch. Faktorisiere z³ - 8.

Answer 2

Da der Term z³ kein quadratischer, sondern ein kubischer Term ist, ist die Frage nach einer "quadratischen" Ergänzung sehr verfehlt.

Der zum Ziel führende Rechenbefehl ist hier einfach:

Bilde auf beiden Seiten die dritte Wurzel.

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Eines der Tags lautet komplexe-Zahlen. So simpel ist es wohl nicht gemeint.

Answer 3

Es ist \(z^3-8=(z-2)(z^2+2z+4)\).

Eine Nullstelle ist 2, die beiden anderen sind

die Nullstellen von \(z^2+2z+4\), daher:

\(z^2+2z=-4\)

Quadr. Ergänzung:

\((z+1)^2=-4+1=-3\), also

\(z+1=\pm i\sqrt{3}\), d.h.

\(z=-1+i\sqrt{3}\) oder \(z=-1-i\sqrt{3}\).