Fundamentalsystem eines systems bestimmen?

Question

Aufgabe:

Gebraucht wird die spez. Lösung des Systems;

\( \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y}  \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} x\\y\\ \end{pmatrix} \)

mit den Anfangsbedingungen x(0)=2, y(0)=0

Problem/Ansatz:

Lautet dann ein Fundamentalsystem der Lösung {\( e^{t} \) \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \), \( e^{-t} \) \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)} ?

Löst dann auch die Komponente y(t) der Lösung das Anfangswertproblem (\ddot{y}) = y , y(0)=0, \dot{y}(0)=2?

Answer 1

Hallo,

x= C₁ e^t +C₂ e^(-t)

y=C₁e^t - C₂e^(-t)

-->  x(0)=2 : 2=C1 +C2

--->y(0)=0:  0=C1 -C2

--->C1=C2=1

--->x=  e^t + e^(-t)

     y=e^t - e^(-t)

x'= e^t - e^(-t)

y'=e^t + e^(-t)

-->eingesetzt in die Aufgabe:

e^t   - e^(-t)= e^t - e^(-t) ->erfüllt

e^t + e^(-t)= e^t + e^(-t)  -->erfüllt

-->

Lautet dann ein Fundamentalsystem der Lösung {\( e^{t} \) \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \), \( e^{-t} \) \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)

--->JA

Comments

Mit den Anfangsbedingunge hat man kein Fundamentalsystem mehr sondern eine exakte bzw eindeutige  Lösung. also wie ich schon sagte

(x,y)= e^t*(1,1)+e^-t*(1-1)

Gruss lul

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Schreib Deine Bemerkungen gefälligst unter Deine Antwort und

nicht unter meine und beantworte dort die Dir gestellten  Frage.

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Sorry, wollte dich nicht kränken! Verstehe aber auch nicht warum du gekränkt bist

richtig ist das Fundamentalsystem die Lösung ist nicht das System.

lul

Answer 2

Hallo, mitt den anfangswerten musst du doch nur ein + statt , zwischen die Lösungen schreiben und kannst den zweiten Teil leicht nachrechnen.

Gruß lul

Comments

Also ist das oben angegebene Fundamentalsystem stimmend zum System?