Vektoren linear unabhängig?

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie, ob die Vektoren linear unabhängig sind:

a) \( \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right] \) in \( \mathbb{R}^{3} \),

b) \( p_{1}(z)=1, p_{2}(z)=z, p_{3}(z)=2 z^{2}-1, p_{4}(z)=4 z^{3}-3 z \) in \( \mathbb{C}[z] \),

c) \( f_{1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_{1}(x)=\cos (x) \), und \( f_{2}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_{2}(x)=\cos (2 x) \), im \( \mathbb{R} \)-Vektorraum der reellen Funktionen \( V=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\} \).

Problem/Ansatz:

… Könnte jemand mir beim Antworten helfen?

Ich würde mich sehr freuen! :)

Answer 1

a) Vermutlich siehst du bereits ohne Rechnung, dass

$$ \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right] $$

Was bedeutet das?

Comments

Ich glaube, a ist linear abhängig, oder?

---

Genau. Ihr habt doch sicher besprochen Was linear abhängig und linear unabhängig bedeutet. Dann wirst du solche Untersuchungen doch eigentlich auch selber hinbekommen. Probier dich ruhig mal selber und bitte uns dann deine Ansätze bzw. Lösungen zu überprüfen.

Ich sage immer, bei Hausaufgaben ist alles erlaubt, was dir hilft es zu verstehen. Schau im Skript nach, schau bei Youtube nach etc.

Answer 2

Hallo

in a) zu untersuchen ob es Zahlen a,b,c gibt, die av1+bv2+cv3=0 ergeben und nicht alle 0 sind ist zu leicht um dir das vorzumachen, man kann auch einfach ausprobieren ob man 2 kombinieren kann, so dass sei den dritten öderen Vielfaches davon bilden.

b) schreib die Vektoren als Koeffizienten der Potenzen also

1=(1,0,0,0);   z=(0,1,0,0) ;  4z^3-1=(-1,0,0,4) dann sieht man leicht ob sie ln. abhängig sind.

c) cos(x)=a*cos(2x) geht sicher nicht für alle x also Lin unabhängig

Gruß lul