Morgen!
Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung: Bestimme alle x ∈ R, für die folgende Potenzreihen konvergieren
Hinweis: Verwenden das Wurzelkriterium und \( \sqrt[n]{\frac{1}{2}} \leq \sqrt[n]{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{n}+\left(\frac{1}{5}\right)^{n}} \leq 1 \)
Problem/Ansatz:
0) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{k^{2}}{2-4 k}(x-2)^{k} \)
\( \begin{array}{l} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\underbrace{\frac{n^{2}}{2-4 k}}_{1}(x-2)^{k}}<1 \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1} \cdot|x-2|<1 \\ \end{array} \)
1. \( x-2 \geqslant 0 \Longleftrightarrow|x-2|=x-2<1 \)
\( x<3 \)
2. \( x-2<0 \Longleftrightarrow|x-2|=-(x-2)<1 \)
\( \begin{array}{c} x-2>-1 \\ x>1 \end{array} \)
1. Fall: \( x=3 \rightarrow \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{k^{2}}{2-4 k}(x-2)^{k}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{k^{2}}{2-4 k}(1)^{k}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{k^{2}}{k \cdot \underbrace{\left(\frac{2}{k}\right.}_{0}-4)}=-\frac{1}{4} \sum \limits_{n=0}^{\infty} k \)
2. Fall:
\( \begin{aligned} x=1 \Rightarrow \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{k^{k}}{2-4 k}(x-2)^{k} &=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{2}}{2-4 k}(-1)^{k} \\ &=\frac{k^{k}}{k \cdot\left(\frac{1}{k}-4\right)}(-1)^{k}=\frac{k}{-4} \cdot 1 \rightarrow-\frac{1}{4} \cdot k \end{aligned} \)
Könnte ihr mir eine Rückmeldung geben, ob meine Berechnungen stimmen? Bei x=1 hatte ich Schwierigkeiten. Ist die Berechnung hier überhaupt richtig? Wie würdet ihr das rechnen?
