Bestimmen Sie die Potenzreihen folgender Funktion:

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Potenzereihen folgende Funktion:

$$f(x)=\int \limits_{}^{}\frac{x-sin(x)}{x^3}$$

Problem/Ansatz:

Hallo Leute, ich hänge bei einer Aufgabe en weinig, könnte mir jemanden sagen ob meine Lösung richtig ist? hier ist mein Versuch:

Comments

Hallo

keine Ahnung, was du da machst? wie wird n aus x, wohin verschwindet der sin?

Normalerweise bestimmt man für eine Potenzreihe die Taylorreihe

ist kein Punkt angegeben für den entwickelt werden soll?

oder ein Geltungsbereich der Funktion?

lul

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Es wurde kein Punkt oder Geltungsbereich angegeben.

Die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie die Potenzereihen folgender Funktionen.

Ich habe die Formel $$ (1+x)^α = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \begin{pmatrix} α\\n \end{pmatrix} * x^n $$ benutzt.

dann habe ich die Reihendarstellung von sinus( $$sin(x)= \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} }$$) genutzt und weitergerechnet

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Aber Dein Übergang von der ersten zur zweiten Zeile ist (mir) unverständlich.

Answer 1

Hallo,

Ich habe die Formel $$ (1+x)^α = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \begin{pmatrix} α\\n \end{pmatrix} * x^n $$ benutzt.

ich sehe nicht, wieso das hier nötig wäre. Die Potenzreihe für den Sinus hast Du ja. Wenn man schreibt $$g(x)= \frac{x-\sin(x)}{x^3}$$dann setze doch die Potenzreihe des Sinus dort ein:$$\begin{aligned}\frac{x-\sin(x)}{x^3} &= \frac{1}{x^3}\left(x - \left(\frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \dots\right)\right) \\ &= \frac{1}{x^3}\left( \frac{x^3}{3!}-\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}- \dots\right) \\ &= \frac{1}{3!}-\frac{x^2}{5!}+\frac{x^4}{7!}- \dots \\ &= \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k+3)!}\end{aligned}$$und dann die Potenzreihe von \(g(x)\) integrieren:$$\int \left(\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k+3)!}\right)\,\text dx = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left((-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+3)! \cdot (2k+1)}\right) + C$$Gruß Werner