Mengenlehre: Vektorräume

Question

Aufgabe:

Ist (x1/x2/x3) € R^3 / 3x1-3x2=0 und x3=0   eine Teilmenge von R^3

Text erkannt:

Das Ziel dieser Aufgabe ist es herauszufinden, ob die folgende Menge ein Teilraum von \( \mathbb{R}^{3} \) ist
\( T=\left\{\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3} \mid 3 x_{1}-2 x_{2}=0 \text { und } x_{3}=0\right\} \)
Wahr Falsch
Der Vektor \( \left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right] \) ist in \( T \).
Für alle \( q, r \in T \) gilt \( q+r \in T \).
Für alle \( q \in T \) und \( \lambda \in \mathbb{R} \) gilt \( \lambda \cdot q \in T \)
\( T \) ist ein Teilraum von \( \mathbb{R}^{3} \).

Problem/Ansatz:

Also x3=0 heißt ja, dass die Menge quasi "auf dem Boden liegt". Ich verstehe aber nicht ganz, ob die Menge jetzt ein Teilraum von R^3 ist oder nicht.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Vielleicht hilft es dir, wenn wir die Elemente der Menge \(T\) etwas anders angeben.

Alle Elemente müssen die Bedingungen$$x_3=0\quad\text{und}\quad x_2=\frac32x_1$$erfüllen. Das heißt:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\[0.5ex]\frac32x_1\\[0.5ex]0\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\[0.5ex]\frac32\\[0.5ex]0\end{pmatrix}$$

Das ist eine Nullpunktsgerade und damit ein Unterraum des \(\mathbb R^3\).

Du kannst auch die 3 Bedinungen abprüfen.

(1) Für \(x_1=0\) erhalten wir den Vektor \(\vec 0\).

(2) Für zwei Vektoren \(\vec a=a\begin{pmatrix}1\\[0.5ex]\frac32\\[0.5ex]0\end{pmatrix}\) und \(\vec b=b\begin{pmatrix}1\\[0.5ex]\frac32\\[0.5ex]0\end{pmatrix}\) gilt: \(\quad\vec a+\vec b=(a+b)\begin{pmatrix}1\\[0.5ex]\frac32\\[0.5ex]0\end{pmatrix}\in\mathbb T\)

(3) Für \(a\in\mathbb R\) und \(\vec x=x\begin{pmatrix}1\\[0.5ex]\frac32\\[0.5ex]0\end{pmatrix}\) gilt: \(\quad a\vec x=(ax)\begin{pmatrix}1\\[0.5ex]\frac32\\[0.5ex]0\end{pmatrix}\in\mathbb T\)