Berechne das Volumen des entstehenden Rotationshyperboloids

Question

Aufgabe:

Der zwischen den Geraden x = -2a und x = 2a liegende Teil der Hyperbel hyp: b²x^{2 -} a²y² = a²b² rotiert

a) um die x-Achse

b) um die y-Achse.

Berechne das Volumen des entstehenden Rotationshyperboloids!

Problem/Ansatz:

Bitte wenn möglich eine detaillierte Lösung - danke!

Comments

Es geht darum, die Linie PQ um die x-Achse bzw. um die y-Achse rotieren zu lassen und das Volumen dann zu verdoppeln (Querschnitt des Rotationskörpers ist grau bzw. rosa eingezeichnet, das graue Ding nennt sich zweischaliges Hyperboloid).

PS:

Wieso nur denke ich an den von einer tollen Tochter erfundenen, 3D-gedruckten Bleistiftständer? Döschwo hat nicht dabei geholfen, ehrlich... ehm... kurzum: Wer die STL-Daten dazu will, Nachricht genügt. Als Weihnachtsgeschenk oder so.

Druckdaten für eine minimalistische Variante des Rotationshyperboloids sind auch lieferbar:

 

Answer 1

a)

\(\displaystyle V=2\cdot \pi \int\limits_{a}^{2a}\left(\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right)^2\, dx = \frac{8}{3} \pi a b^{2}\)

b)

\(\begin{aligned} &V=2\cdot \pi \int\limits_{0}^{b/a \sqrt{(2a)^{2}-a^{2}}} \left(\frac{a}{b}\sqrt{b^{2}+y^{2}}\right)^2\, dy = 4\sqrt{3}\pi a^{2}b \quad &&\text{(das Rotationshyperboloid)}\\\\ &V=2\cdot 2\pi \int\limits_{a}^{2a}x\left(\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right)\, dx = ... &&\text{(der "graue Ring", siehe unten)}\end{aligned}\)

Comments

\(\frac{b}{a}\sqrt{(2a)^{2}-a^{2}}\) scheint keine rechte Hyperbel zu sein.

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Herrjesses, Dein Kommentar kommt 2 Minuten zu spät :)   Aber danke trotzdem.

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Wie würdest du den Aufgabentext formulieren, wenn du als Lösung für b) nicht den rosa Bleistiftständer sondern den grauen Ring haben wolltest ?

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Falls ich gemeint sein sollte: Es wird kein grauer Ring gesucht, sondern ein Rotationshyperboloid.

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Die Rotation eines Funktionsgraphen gibt ja zunächst mal nur eine Fläche.
Diese Fläche begrenzt hier aber noch kein Volumen.

In Teil a) erhält man ein Volumen, indem links und rechts jeweils zwei Kreisscheiben aufgesetzt werden (deine grauen Teile). In Teil b) kann das Volumen dadurch erhalten werden, dass man oben und unten Kreisscheiben ansetzt (dein rosa Bleistiftständer) oder indem man mit einem Zylindermantel abschließt (ergäbe den "grauen Ring").

Wikipedia bezeichnet nur die Flächen aber keine Volumina als Hyperboloide.

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Das sehen auch https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hyperboloid und https://mathworld.wolfram.com/Hyperboloid.html so. Jedoch ist hier nach einem Volumen gefragt worden. Der Duden meint, ein Hyperboloid sei ein Körper...

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Jedoch ist hier nach einem Volumen gefragt worden.

Und deshalb tendiere ich aufgrund der Formulierung  Der zwischen den Geraden x = -2a und x = 2a liegende Teil (und nicht "zwischen y = -b√3 und y = b√3") zu meiner Lesart "grauer Ring".

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Alles nachvollziehbar, aber:

Berechne das Volumen des entstehenden Rotationshyperboloids!

"Herr Lehrer, ich habe stattdessen einen grauen Ring ausgerechnet..." Optional noch: "...weil Ihre Aufgabe ist ein bisschen doof formuliert." Na ja, die Hochschulen sind eh überfüllt.

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Warum nicht "Herr Lehrer, das Volumen ist 0, weil eine Fläche kein positives Volumen hat."

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Siehe oben: Gemeint ist ein Körper, nicht eine Fläche.

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Aufgabe ist ein bisschen doof formuliert

Mag sein. Besser wäre gewesen "Die vom Graphen der Hyperbel .. und den Geraden x=2a bzw. x=-2a eingeschlossene Fläche rotiert a) um die x-Achse, b) um die y-Achse, berechne die entstehenden Volumina".

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Ich habe meine Antwort zu b) angepasst, jetzt sollten beide Interpretationen abgedeckt sein.

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Schönes Beispiel dafür, dass die Methode "Gib nur das Endresultat an" tiefere Einsichten verhindern kann.

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Ich gratuliere zu Deinen tieferen Einsichten.

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Du bist derjenige, der seine ursprüngliche Antwort ein paar mal revidiert und ergänzt hat, nicht ich.

Bemerkenswerterweise haben ja der Ring und der von dir als "Rotationshyperboloid" bezeichnete Körper gleiches Volumen. Hättest du nur das angegeben, wäre uns die fruchtbare Diskussion entgangen.

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Vielleicht wird es der Fragesteller ja noch schaffen, nach Abgabe seiner Lösung, zur Beruhigung der furchtbar Diskutierenden, hier mitzuteilen, ob man von ihm bei b) mit der Aufgabe "Berechne das Volumen des entstehenden Rotationshyperboloids" einen grauen Ring oder ein rosa Rotationshyperboloid haben wollte...

Ich danke für die eingegangenen Bestellungen. Nein, die 3D-Dinger kosten nichts. Nein, ich drucke nicht selber, ich verschenke nur die Daten. Zum Drucken gibt es überall Dienstleister B2C.