Seien K ein endlicher Körper und V ein K-Vektorraum. Zeigen Sie, dass V genau dann endlich-dimensional ist, wenn V endlich ist, und in diesem Fall gilt:
#V = #$$(K)^{dim_K V}$$
Hinweis: Konstruieren Sie für endlich dimensionales V mit Hilfe einer Basis eine bijektive Abbildung von V nach $$(K)^{dim_K V}$$
Online habe ich gefunden:
Wenn V endlich dimensional ist, existiert eine Basis mit endlich vielen Elementen $$v_1,...v_n$$
Jedes Element von V lässt sich eindeutig als LK mit diesen Basiselementen darstellen, also:
$$\forall v\in V: a_1,...,a_n \text{ mit } v=a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n$$
Die Abbildung, die jedem V das n-Tupel $$a_a,...,a_n$$ zuordnet, ist bijektiv.
Und hier komme ich nicht weiter. Wir haben noch nicht viel zu Dimensionen gemacht und ich bin etwas verloren... Online habe ich einige Ansätze gefunden, die aber immer eine Definition voraussetzen, die wir in der Form noch nicht gemacht haben... Hat jemand eine Idee?
