Beweis, die Aussagen sind äquivalent: Der Vektorraum V ist endlich - dimensional

Question

Wie beweise ich, dass die Aussagen äquivalent sind??

Sei V ein K-Vektorraum.

(i) Der Vektorraum V ist endlich - dimensional

(ii) Jede aufsteigende Kette von Untervektorräumen U₀ ⊂U₁ ⊂ U₂ ⊂ .... in V ist stationär. D.h es gibt einen

Index n ≥ 0 mit U_n = U_n+1 = U_n+2 = ...

Answer 1

Ist V ndimensional dan ist dim U nach oben beschränkt und monoton - also schließlich konstant - und damit ist U schließlich konstant

Ist V unendlichdimensionak und B_ j eine abzählbare unendliche linear unabhängige Menge - dan ist U_i=span ( B_j ;j<i ) eine nicht nicht stationäre Kette