Es ist \(a_{n+1}-a_n=a_n^2-a_n+1-a_n=a_n^2-2a_n+1=(a_n-1)^2\geq 0\) für alle Startwerte. Damit ist die Folge monoton wachsend.
Aus \(a_n=a_n^2-a_n+1\) folgt \(a_n=1\), so dass der Grenzwert schonmal festgelegt ist. Ist \(a_n\in [0;1]\) , so ist \(a_n\geq a_n^2\) und es folgt \(a_{n+1}=a_n^2-a_n+1\leq a_n-a_n+1=1\). Monotonie und Beschränktheit liefert Konvergenz.
Wegen der Monotonie folgt in jedem Fall bestimmte Divergenz gegen \(+\infty\). Ist \(a_0\notin [0;1]\), so kann man leicht sehen, dass die Folge unbeschränkt ist, denn \(|a_{n+1}-1|=|a_n^2-a_n|=|a_n(a_n-1)|>|a_n|\), falls \(|a_n|>1\). Für \(a_0\in[-1;0)\) ist bereits \(a_1>1\), so dass auch hier Divergenz vorliegt.
