Ich sehe gerade, dass ich einen Deiner KOmmentare nicht richtig erfasst habe (oder doch etwas... - evtl. Überschneidung mit meinem Kommentar.
Wir haben also jetzt - konkret
$$\cosh(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(2k)!}x^{2k}+R_{2n+1}(x)$$
Wenn wir jetzt wissen, dass \(R_{2n}(x) \to 0 (n \to \infty)\), dann folgt die Darstellung des cosh durch die Taylorreihe:
$$\cosh(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k)!}x^{2k}$$
Für das Restglied gilt nun - die Abeleitung von cosh mit ungeradem Index ist sinh:
$$R_{2n+1}(x)=\frac{1}{(2n+1)!}f^{(2n+1)}(\xi)(x-0)^{2n+1}=\frac{1}{(2n+1)!}\sinh(\xi)(x-0)^{2n+1}$$
Wenn wir das für positive x weiter verfolgen: Wir wissen, dass \(\xi\) zwischen 0 und x liegt. Da wir keine weitere Info haben, schätzen wir ab (sinh ist im Positiven wachsend):
$$|R_{2n+1}(x)|=\frac{1}{(2n+1)!}\sinh(x)(x-0)^{2n+1}$$
Jetzt brauchen wir nur noch wissen, dass
$$a_n:=\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \to 0 , \text{ für }n \to 0$$
Das kann man aber leicht sehen.
Bemerkung: Hier hängt die Ableitung nicht von n ab, das hat die Sache wesentlich vereinfacht.
