0 Daumen
762 Aufrufe

Aufgabe:

$$\text{ (a) Beweise, dass die Funktion } f(x)=x^3-3x+1 \text{ genau drei reelle Nullstellen besitzt.}$$

$$\text{ (b) Folgt aus der Stetigkeit einer Funktion }f:\space \mathbb R \rightarrow \mathbb Q\text{, dass }f \text{ konstant ist?}$$

$$\text{ (c) Zeige: Sei } g: \space \mathbb R \rightarrow \mathbb R \text{ eine stetige Funktion mit } g(x)\rightarrow 0 \text{ für }|x|\rightarrow \infty.\newline \text{ Dann existiert ein }x_0\in \mathbb R \text{ mit } |g(x)|\leq|g(x_0)|\space \forall x\in\mathbb R$$

Aufgabenteil (a) bekomme ich noch hin doch ab (b) scheiter ich, für hilfe wäre ich sehr dankbar.

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen

a)

f(x) = x^3 - 3·x + 1
f'(x) = 3·x^2 - 3 = 0 --> x = -1 ∨ x = 1

f(-1) = 3 → HP(-1 | 3)
f(1) = -1 → TP(1 | -1)

Man hat einen Hoch- über und einen Tiefpunkt unter der x-Achse. Damit hat man

eine reelle Nullstelle im Intervall ]-∞ ; -1[,
eine reelle Nullstelle im Intervall ]-1 ; 1[
und eine reelle Nullstelle im Intervall ]1 ; ∞[.

Skizze

~plot~ x^3-3x+1;{-1|3};{1|-1} ~plot~

Avatar von 486 k 🚀

c)

Die Angabe bedeutet doch nur, das die Funktion dann eine niedrigste untere oder eine höchste obere Grenze an einem Funktionswert annimmt.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community