Bestimmen Sie den Radius des Kreises in Abhängigkeit von a.

Question

 Aufgabe:

Gegeben ist die Seitenlänge a für das Quadrat. Bestimmen Sie den Radius des Kreises in Abhängigkeit von a.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz steht soweit und ich habe auch ein Ergebnis:

Ich stelle ein rechtwinkliges Dreieck wie im Bild zu sehen auf, um den Satz des Pythagoras anwenden zu können.

b = \( \frac{1}{2} \)a + r

c = a - r

d = \( \frac{1}{2} \)a - r

mit \( b^{2} \) = \( c^{2} \) + \( d^{2} \)

Dann ist ( \( \frac{1}{2} \)a - r)² + \( (a-r)^{2} \) = \( ((\frac{1}{2})a + r)^{2} \)

Binomische Formeln aufgelöst:

\( \frac{1}{4} \) \( a^{2} \) - ar + \( r^{2} \) + \( a^{2} \) - 2ar + \( r^{2} \) = \( \frac{1}{4} \) \( a^{2} \) + ar + \( r^{2} \)

 \( r^{2} \) - 3ar + \( a^{2} \) = ar

 \( r^{2} \) - 4ar = - \( (a)^{2} \)

Nach quadratischer Ergänzung:

 \( r^{2} \) - 4ar + \( (2a)^{2} \) = - \( (a)^{2} \) + \( (2a)^{2} \)

 \( (r-2a)^{2} \) = 3\( a^{2} \)

Wurzel ziehen:

r_1/2 - 2a = ± \( \sqrt{3* a^{2}} \)

r₁ = 2a + a * \( \sqrt{3} \) = (2+\( \sqrt{3} \)) * a

r₂ = 2a - a * \( \sqrt{3} \) = (2-\( \sqrt{3} \)) * a

Eigentlich müsste ich doch nur einen Radius erhalten, oder? Ansonsten stellt sich mir die Frage, wie der Radius, abhängig von a, sowohl r₁ als auch r₂ sein kann, also 2 verschiedene Größen (gleichzeitig) annehmen kann.

Answer 1

r₁ = 2a + a * \( \sqrt{3} \)

Mathematisch ist das eine Lösung der quadratischen Gleichung.

Im Sachzusammenhang ergibt die Lösung aber keinen Sinn, weil dann c < 0 und d < 0 wären.

Formal formuliert liegt die Lösung außerhalb des Definitionsbereiches der Gleichungen c = a-r und d = ½a-r.

Comments

Stimmt, danke.

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Ansonsten stellt sich mir die Frage, wie der Radius, abhängig von a, sowohl r1 als auch r2 sein kann, also 2 verschiedene Größen (gleichzeitig) annehmen kann.

Nicht gleichzeitig, sondern sowohl als auch. Die Bedingung, die Du aufgestellt hast, gilt für einen Kreis, der die untere und rechte Seite des Quadrats und den Kreis oben berührt. Und das Ergebnis sind zwei Kreise, die das erfüllen

Der erste Kreis ist der kleine blaue unten rechts und der zweite der große rote, von dem man nur einen Teil auf dem Bild sieht (Mittelpunkt \(H\)).

Die Mittelpunkte beider Kreise ergeben sich geometrisch aus den beiden Schnittpunkten der Winkelhalbierenden (gelb) in \(B\) mit der Parabel (rot) mit Scheitel in \(C\).