Zeigen Sie: C ist ein kommutativer Unterring von M2(R).

Question

Aufgabe:

(Alternative Beschreibung der komplexen Zahlen) Wir betrachten die Menge

    C = {a −b   | a, b ∈ R} ⊆ M2(R)
              b a}

Zeigen Sie: C ist ein kommutativer Unterring von M2(R). Falls A ∈ C, A ̸ = 0, so gibt es
ein Inverses A−1 ∈ C, insbesondere ist C ein Körper.
Problem/Ansatz:

wie Fange ich mit dem zeigen des Unterrings an?

Answer 1

wie fange ich mit dem Zeigen des Unterrings an?

Abgeschlossenheit bzgl + und * und

0 und additive Inverse sind in C.

z.B. Abgeschlossen bzgl *:

Seien \(  A \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \) und \( B=\begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix}  \)  in C, dann gilt

\(  A \cdot B = \begin{pmatrix} ac-bd & -ad-bc \\ bc+ad & -bd+ac \end{pmatrix} \)

Also gibt x=ac-bd und y=bc+ad so, dass

\(  A\cdot B=  \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix} \)

also A*B wieder in C.   etc.