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$$I=\int\limits_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\int\limits_{-a}^a\sqrt{a^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)}\,dx=\int\limits_{\blue{-a}}^{\blue a}a\sqrt{1-\left(\green{\frac{x}{a}}\right)^2}\,\red{dx}$$
Wir substituieren wie folgt:$$\green{\frac xa=\sin\varphi}\implies x=a\sin\varphi\implies\frac{dx}{d\varphi}=a\cos\varphi\implies\red{ dx=a\cos\varphi\,d\varphi}$$Die Integrationsgrenzen \((\blue{\pm a})\) müssen wir auch noch an die neue Variable \(\varphi\) anpassen:$$\varphi(x)=\arcsin\left(\frac xa\right)\implies\varphi(\blue{\pm a})=\arcsin\left(\blue{\pm1}\right)=\blue{\pm\frac\pi2}$$
Damit schreiben wir das Integral um:$$I=\int\limits_{\blue{-\pi/2}}^{\blue{\pi/2}}a\underbrace{\sqrt{1-\green{\sin}^2\green{\varphi}}}_{=\cos\varphi}\;\red{a\cos\varphi\,d\varphi}=a^2\!\!\!\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\pink{\cos^2\varphi}\,d\varphi=a^2\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\pink{\frac12+\frac12\cos(2\varphi)}\right)d\varphi$$$$\phantom I=a^2\left[\frac\varphi2+\frac14\sin(2\varphi)\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=a^2\left(\frac\pi4+\frac\pi4\right)=\frac{\pi a^2}{2}$$
