Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral

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Aufgabe 6.2. [Integralkriterium für Reihen] Es sei \( f:[1, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) stetig und monoton fallend mit \( f(x) \geq 0 \) für alle \( x \in[1, \infty) \). Für \( k \in \mathbb{N} \) setzen wir \( a_{k}:=f(k) \). Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral
\( \int \limits_{1}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x \)
genau dann existiert, wenn die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) konvergiert.

Answer 1

Hallo

Schreibe die Ober und Untersumme für das Integral mit  Unterteilung xi=k  Intervalllänge 1 hin. das Integral liegt dazwischen. (benutze dabei dass f monoton fallend ist. also f(k)>f(k+1))

Gruß lul

Answer 2

Wegen der Monotonie ist \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) eine Majorante

und \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k+1} \) eine Minorante für das Integral.

Comments

Ich kenne die Regeln und weiß was für eine Forme icb nutzen soll.

Die Regeln einzusetzen und in Praktisch das ganze anzuwenden ist eine große Herausforderung für mich.

Seit 4 Stunden versuche aber komme nicht weiter.