Hallo Thorge,
es gibt im Netz die Online Enzyklopädie für Integer Folgen. Dort findet man die Folge der \(f_{2^{n}}\) unter A058635:$$f_{2^n} = \left\{1,\,3,\,21,\,987,\,2178309,\,\dots\right\} \\ f_{2^n} = f_{2^{n-1}} \cdot a_{n-2}, \quad f_{2^{1}} = 1$$D.h. diese Folge ist das fortlaufende Produkt einer zweiten Folge A001566, die ich hier schlicht mit \(a_{n}\) bezeichnet habe, die so aussieht:$$a_{n} = \left\{3,\,7,\,47,\,2207,\,\dots\right\}\\a_{n} = a_{n-1}^2-2, \quad a_0=3$$Setzt man das in einander ein, so erhält man$$\begin{aligned}f_{2^n} &= f_{2^{n-1}} \cdot a_{n-2}\\ f_{2^n} &= f_{2^{n-1}} \left(a_{n-3}^2-2\right)\end{aligned}$$Nun ist aber nach der Rekursionsformel von \(f_{2^{n}}\)$$f_{2^n} = f_{2^{n-1}} \cdot a_{n-2} \implies a_{n-2}=\frac{f_{2^n}}{f_{2^{n-1}}} \quad\text{ bzw.: }\space a_{n-3}=\frac{f_{2^{n-1}}}{f_{2^{n-2}}}$$das einsetzen liefert ...$$\begin{aligned}f_{2^n} &= f_{2^{n-1}} \left(a_{n-3}^2-2\right)\\ &= f_{2^{n-1}} \left(\left(\frac{f_{2^{n-1}}}{f_{2^{n-2}}}\right)^2-2\right)\\&=\frac{f_{2^{n-1}}^3}{f_{2^{n-2}}^2}-2f_{2^{n-1}}\end{aligned}$$... genau die von Dir gefundenen Identität.
... ob diese Formel bspw. schon allgemein bekannt ist
'allgemein bekannt' ist sie sicher nicht. Aber Du findest sie tatsächlich bei der Folge \(f_{2^{n}}\) A058635 unter dem Abschnitt 'FORMULA' bei 'Recurrence equations:'
Gruß Werner
