Wie muss man hier vorgehen?

Question

Aufgabe:

Gesucht sind positive natürliche Zahlen \( a, u, v \) mit \( u \leq v \) so, dass \( a=u+v \) und \( 125 \cdot a=u^{2}+v^{2} \) gilt.

Geben Sie \( a, u, v \) mit größtmöglichem \( v \) an.

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand den Lösungsweg aufschreiben, bzw. die Aufgabe vorrechnen?

Comments

Ist das 'ne Wettbewerbsaufgabe?

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\(u=75\) und \(v=150\) ist wohl die Lösung mit dem größten \(v\)

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nein nur eine Übung, aber wie sind sie darauf gekommen?

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Wie sind sie auf die Ergebnisse gekommen

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Es gibt noch eine zweite Lösung mit diesem größten v.

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Es gibt noch eine zweite Lösung mit diesem größten v.

Es gibt für so ziemlich jede Lösung - je nach Definitionsbereich - mindestens eine zweite Lösung. Das liegt an der Symmetrie des Kreises ;-)

Für eine Lösung \((u,\,v)\) gibt es noch die Lösungen \((125-u,v)\), \((u,\,125-v)\) und \((125-u,\,125-v)\) (je nach Definitionsbereich)

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Setze das \(a\) aus der ersten Gleichung in die zweite ein:$$\implies u^2+v^2 - 125u-125v = 0$$Das ist ein Kegelschnitt, genauer ein Kreis. Der sieht so aus:

https://www.desmos.com/calculator/qx1wm5zieq

Alle Lösungen für \((u,v)\) liegen auf dem Kreis. Da nach einem möglichst großen \(v\) gesucht ist, berechne man den höchst gelegenen Punkt auf dem Kreis. Der liegt im Intervall \((150\dots 151)\). Und dann hab ich für \(v=150\) einfach das zugehörige \(u\) berechnet.

Gruß Werner

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wie berechnet man den höchst gelegenen Punkt auf dem Kreis.

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wie berechnet man den höchst gelegenen Punkt auf dem Kreis.

Ok - in welcher Klasse bist Du?

Du kannst die Gleichung oben durch quadratische Ergänzung in die 'Kreisgleichung' umformen: (hier mit \(x\) und \(y\) statt \(u\) und \(v\))$$\begin{aligned} x^2+y^2-125x-125y &= 0 \\ x^2 - 125 x + \left(\frac{125}{2}\right)^2 +y^2 - 125y + \left(\frac{125}{2}\right)^2&= 2\left(\frac{125}{2}\right)^2 \\ \left(x-\frac{125}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{125}{2}\right)^2 &= 2\left(\frac{125}{2}\right)^2 \\ (x-x_M)^2 + (y-y_M)^2 &= r^2\end{aligned}$$D.h. für Mittelpunkt \(M\) und Radius \(r\) gilt$$M = \left(\frac{125}{2},\, \frac{125}{2}\right)^T \quad r = \frac{125}{\sqrt{2}}$$Also liegt der höchst gelegenen Punkt bei $$P_{y\,\max} = M + r\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{125}{2}\\\frac{125}{2} + \frac{125}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 62,5\\150,9 \end{pmatrix}$$

Answer 2

Warum fängst du nicht mit (u+v)^2=a^2 an? Rechne das Binom aus und überlege dann.

Vorrechnen willst du doch wohl eigentlich nicht.

lul

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doch das wäre schon recht hilfreich

Answer 3

Es gibt fünf Lösungen mit positiven ganzen Zahlen.

:-)

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Es gibt fünf Lösungen mit positiven ganzen Zahlen.

Und einen Fragesteller, der die gleiche Frage (ach, was sage ich - den gleichen Screenshot) in mindestens zwei Foren einstellt.

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Nicht eher sieben? Davon zwei mit dem größten v.