Harmonische Reihe auf Grenzwert und Monotonie untersuchen

Question

Guten Abend,

leider verstehe ich folgende Aufgabe gar nicht. Wäre jemand so nett und könnte mir zeigen, wie man diese Aufgabe löst. Vielen Dank.

Aufgabe:

Sei \( S_{n}=-\ln (n)+\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \).

1. (1 Punkt) Zeigen Sie:
\( \forall n \in \mathbb{N}^{\star} \quad \frac{1}{n+1} \leq \ln (n+1)-\ln (n) \leq \frac{1}{n} \)
2. (1.5 Punkt) Zeigen Sie, dass \( \left(S_{n}\right)_{n \geq 1} \) monoton und beschränkt ist. Was kann man damit folgern?
3. (1.5 Punkt) Zeigen Sie, dass \( T_{n}=\sum \limits_{k=n}^{2 n} \frac{1}{k} \) einen Grenzwert besitzt, und bestimmen Sie diesen Grenzwert.

Answer 1

\(  \frac{1}{n+1} \leq \ln (n+1)-\ln (n) \leq \frac{1}{n} \)

<=> \(  \frac{1}{n+1} \leq \ln ( \frac{n+1}{n}) \leq \frac{1}{n} \)

<=> \(  \frac{1}{n+1} \leq \ln ( 1+ \frac{1}{n}) \leq \frac{1}{n} \)

<=> \( e^{ \frac{1}{n+1} }\leq 1+ \frac{1}{n} \leq   e^{\frac{1}{n}} \)

<=> \( e^{ \frac{n}{n+1} }\leq (1+ \frac{1}{n})^n \leq   e \)

Das ist doch wohl eine bekannte Abschätzung

der Folge \(   (1+ \frac{1}{n})^n \).

Comments

@ mathef: Gibt es für die linke "bekannte" Ungleichung eine einfache Erklärung?

---

Hab - ehrlich gesagt - nicht lange drüber nachgedacht und

hatte im Sinn

$${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}}$$

---

Danke, mindestens 12 Buchstaben