Bestimmen Sie jeweils eine Orthonormalbasis für das Bild(M) und den Kern(M)

Question

Hallo liebe Commuity. Ich bräuchte mal bitte eure Hilfe. Bei dieser Aufgabe fehlt mir jeglicher Ansatz.

Eine symmetrische Matrix M ∈ ℝ^4,4 besitzt die folgende Eigenschaft:

Es gibt vier linear unabhängige Vektoren u,v,w,z ∈ ℝ⁴ ,sodass

M×u = \( \begin{pmatrix} -1\\2\\0\\1 \end{pmatrix} \),

M×v = \( \begin{pmatrix} 0\\2\\3\\2 \end{pmatrix} \)

M×w=M×u+M×v

M×z= M×u-M×v

Bestimmen Sie jeweils eine Orthonormalbasis für das Bild(M) und den Kern(M)

Ich wäre euch super dankbar, wenn ihr mir helft.

Answer 1

Offenbar ist (u,v) eine Basis für Bild(M).

Orthogonalisierung (nach Gram-Schmidt) gibt v'=u-v= \( \begin{pmatrix} -1\\0\\-3\\-1 \end{pmatrix} \)

u und v' bilden also eine Orthogonalbasis und Normalisierung gibt

die Orthonormalbasis

\((  \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -1\\2\\0\\1 \end{pmatrix} ,  \frac{1}{\sqrt{11}} \begin{pmatrix} -1\\0\\-3\\-1 \end{pmatrix} ) \) für das Bild.