Aloha :)
Der Orstvektor \(\vec r\), der alle Punkte der Oberfläche \(M\) abtastet, lautet:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\r\cos^2\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$Auf dem Rand der Oberfläche \(\partial M\) halten wir \(r=1\) fest und itegrieren nur über \(d\varphi\)
$$I=\oint\limits_{\partial M}\vec v(\vec r)\,d\vec r=\int\limits_{0}^{2\pi}\vec v(\vec r(\varphi))\,\frac{d\vec r(\varphi)}{d\varphi}\,d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\underbrace{\begin{pmatrix}-1\cdot\sin\varphi\\1\cdot\cos\varphi\\1\end{pmatrix}}_{=(-y;x;1)^T}\underbrace{\begin{pmatrix}-1\cdot\sin\varphi\\1\cdot\cos\varphi\\-1\cdot2\sin\varphi\cos\varphi\end{pmatrix}}_{\frac{d\vec r}{d\varphi}}\,d\varphi$$$$\phantom I=\int\limits_0^{2\pi}(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi-2\sin\varphi\cos\varphi)\,d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}(1-\sin(2\varphi))\,d\varphi=2\pi$$
Zur Berechnung mittels des Integralsatzes von Stokes brauchen wir die Rotation des Vektorfeldes:$$\operatorname{rot}(\vec v)=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-y\\x\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-0\\0-0\\1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$$und freuen uns, weil wir von dem Flächendifferential \(d\vec\sigma\) nur die \(z\)-Komponente brauchen:$$d\vec\sigma=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial r}dr\right)\times\left(\frac{\partial\vec r}{\partial \varphi}d\varphi\right)=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\\cos^2\varphi\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\-2r\sin\varphi\cos\varphi\end{pmatrix}\,dr\,d\varphi=\begin{pmatrix}?\\?\\r\end{pmatrix}dr\,d\varphi$$
Damit können wir das Integral formulieren:$$I=\int\limits_M\operatorname{rot}\vec v\,d\vec\sigma=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}?\\?\\r\end{pmatrix}\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^12r\,dr\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi=\left[r^2\right]_0^1\cdot\left[\varphi\right]_0^{2\pi}=2\pi$$
