Stetigkeit an einer Stelle a.
Betrachte | fn(x)-fn(a) | < ε
<=> \( |\frac{nx}{1+|nx|} - \frac{na}{1+|na|}| < \varepsilon \)
<=> \( |\frac{nx(1+|na|)-na(1+|nx|)}{(1+|na|)(1+|nx|)|} < \varepsilon \)
Dann musst du wohl Fallunterscheidungen treffen:
1. Fall: a>0, dann ist bei hinreichend kleinem δ (was noch zu wählen ist)
auch x>0. Also fallen die Beträge bei na und nx weg
und es bleibt nach Berechnung der Bruchdifferenz
\( |\frac{nx-na}{(1+nx)(1+na)} | < \varepsilon \)
<=> \( \frac{n|x-a|}{(1+nx)(1+na)} < \varepsilon \)
Nun ist ja für positives x und a (und n sowieso)
1+nx > 1 und 1+na > 1 also der Nenner >1 und damit
der Wert des Bruches kleiner als der Zähler und es reicht
das δ so zu wählen, dass \( n|x-a|< \varepsilon \) gilt
bzw. \( |x-a|< \frac{\varepsilon }{n} \)
Da wäre also \( δ= \frac{\varepsilon }{n} \) eine
sinnvolle Wahl. Damit (s.o.) auch x positiv garantiert ist,
muss auch \( δ \lt a \) gelten, also wäre \( δ = min( a, \frac{\varepsilon }{n} ) \)
ein geeignetes \( δ \) damit | x - a | < δ ==> | fn(x)-fn(a) | < ε gilt.
So ähnlich wird es wohl für a<0 und für a=0 auch klappen.
