Beweise mit Hilfe der Gruppenaxiome

Question

Aufgabe:

Sei \( (G, *) \) eine Gruppe. Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe der Gruppenaxiome.

(a) Zu jedem \( g \in G \) existiert höchstens ein inverses Element.

(b) Seien \( g, h, k \in G \) so dass \( h * g=e \) und \( k * h=e \), dann folgt \( k=g \).

(c) Für alle \( g, h \in G \), gilt \( (g * h)^{-1}=h^{-1} * g^{-1} \).

Problem/Ansatz:

Answer 1

(a) Wenn \(g * g' = e\) ist, dann muss \(g^{-1} * (g * g') = g^{-1} * e\) sein.

(b) Wenn \( h * g = e \) ist, dann muss \(k*(h*g) = k*e\) sein.

(c) Bestimme \((g*h) * (g * h)^{-1}\) und \((h^{-1} * g^{-1})*(g*h)\) und verwende (b).