Gruppenaxiome prüfen

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe ist, die Gruppenaxiome für eine Menge mit einer binären Verknüpfung (siehe Bild) zu überprüfen. Leider verstehe ich die Verknüpfung nicht, auch die Schreibweise mit dem r hinter der Verknüpfung unklar. Könnte mir vielleicht jemand helfen, wie ich diese Aufgabe angehe?

Comments

Eine Liste der Axiome wäre nützlich.

Das *r sollte dich aber nicht verwirren, du kannst das Zeichen samt Index auch durch ein anderes ersetzen. ZB ⊗ oder so.

Wichtig ist nur was die Verknüpfung macht:

a verknüpft mit b ist per Definition b

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oh, achso, danke! Ich hatte mich nur gewundert weil in der Verknüpfung ja kein Rechenoperator wie + oder *.. gegeben ist. Ist mit dann dem r vielleicht das rechte Element gemeint? Und muss M größer gleich zwei sein, weil ein Element aus der Menge neutral sein muss?

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Ja das r deutet wohl darauf hin, dass die Verknüpfung von zwei Elementen immer das rechte ergibt.

Wenn |M|=1 hätte die Menge nur ein Element, nennen wir es e, die einzig mögliche Verknüpfung wäre

e *r e = e

Das ist dann eine Gruppe. Nämlich die Γ≠sog. triviale Gruppe.

Für |M|>1 sollten gewisse Axiome nicht gelten. Z.B. angenommen es gäbe auch hier ein neutrales Element e.

Dann wäre a *r e = e für alle a. Und wenn |M|>1 findet man ein a≠e.

Widerspruch zur Eigenschaft eines neutralen Elements, es müsste a *r e = a sein.

Etc.

Answer 1

Leider verstehe ich die Verknüpfung nicht,

Beispiel für \(M = \{5, k, \pi\}\):

    \(5 *_r \pi = \pi\)

    \(k *_r 5 = 5\)

    \(\pi *_r k = k\).

die Schreibweise mit dem r hinter der Verknüpfung unklar

Da ist kein \(r\) hinter einer Verknüpfung. Da ist eine Verknüpfung, die heißt \(*_r\). Wenn du hinter die Verknüpfung ein \(r\) packst, dann hast du \(*_rr\). Das steht aber nirgends in der Aufgabenstellung.

wie ich diese Aufgabe angehe?

Beispiel (Assoziativgesetz).

Für alle \(a,b,c\in M\) gilt

        \((a*_rb)*_r c = b*_rc = c\)

und

    \(a*_r(b*_r c) = a*_rc = c\).

Also ist \(*_r\) assoziativ.