Zeigen Sie, dass V=U \oplus W gilt.

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) der \( \mathbb{R} \)-Vektorraum \( \operatorname{Abb}([-1,1], \mathbb{R}) \). Wir definieren die linearen Unterräume

U:={f∈V|f(−t)=f(t),∀t∈[−1,1]}

W:={f∈V|f(−t)=−f(t),∀t∈[−1,1]}

Zeigen Sie, dass \( V=U \oplus W \) gilt.

Problem/Ansatz:

Hallo liebe Leute, leider weiß ich nicht, wie man bei dieser Aufgabe vorgehen könnte, wäre sehr über jegliche Hilfe dankbar. Gruß

Answer 1

Sei \(x\in [-1, 1]\), \(f\in V\). Ferner seien \(g\in U\), \(u\in W\) mit \(f = g + u\).

Dann ist

        \(\begin{aligned}f(x) &= g(x) + u(x)\\f(-x) &= g(-x) + u(-x)\text{.}\end{aligned}\)

Verwende die Eigenschaften der Funktionen aus \(U\) und \(W\) um mithilfe dieses Gleichungssystems zu zeigen, dass

        \(g(x) = \frac{1}{2}\left(f(x) + f(-x)\right)\)

und

        \(u(x) = \frac{1}{2}\left(f(x) - f(-x)\right)\)

ist.

Übrigens sollten dir die Eigenschaften der Funktionen aus \(U\) und \(W\) von der Schule her bekannt vorkommen.

• \(U\) enthält Funktionen, deren Graphen achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse sind (a.k.a gerade Funtionen).
• \(W\) enthält Funktionen, deren Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung sind (a.k.a. ungerade Funktionen).

Du sollst jetzt beweisen, dass sich jede auf dem Intervall [-1, 1] definierte Funktion eindeutig als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion darstellen lässt.

Comments

Wow, vielen Dank!

Das hat sehr geholfen. Die zwei Funktionen g und u haben sie einfach so konstruiert, dass sie zusammen addiert f ergeben.

Danke für die Erklärung, Genial !

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Die zwei Funktionen g und u haben sie einfach so konstruiert, dass sie zusammen addiert f ergeben.

Das habe ich nicht. Damit wäre nämlich lediglich gezeigt, dass \(V = U + W\) ist.

Für \(V = U \oplus W\) fehlt aber noch, dass \(g\) und \(u\) durch

        \(g\in U, u\in W, f = g + u\)

eindeutig bestimmt sind. Dazu musst du alle Lösungen für \(g\) und \(u\) des Gleichungssystem

        \(\begin{aligned}f(x) &= g(x) + u(x)\\f(-x) &= g(-x) + u(-x)\text{.}\end{aligned}\)

bestimmen, anstatt sich damit zufrieden zu geben, dass

        \(\begin{aligned}g(x) &= \frac{1}{2}\left(f(x) + f(-x)\right)\\u(x) &= \frac{1}{2}\left(f(x) - f(-x)\right)\end{aligned}\)

eine Lösung des Gleichungssystems ist.

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Vielen Dank,

also um auf die Gleichungen zu kommen müssen sie einerseits jeweils Element von U und W sein, und zusammen addiert f ergeben?

Und dann gilt noch zu zeigen, dass diese Bedingungen erfüllt sind und anschließend noch, dass der Schnitt aus U und W der Nullraum ist, aus der Bedingung für direkte Summen?

Vielen Dank für die Hilfe das hat schon geholfen (sofern ich es verstanden habe haha) LG

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dass der Schnitt aus U und W der Nullraum ist

OK, dass ist auch eine Möglichkeit, zu zeigen dass es sich um eine direkte Summe handelt.

Dann kann man sich den Nachweis der Eindeutigkeit von \(g\) und \(u\) sparen.

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Vielen Dank, Also um alleine darauf zu kommen, würde man sich einfach die beiden Bedingungen anschauen und daraus (mithilfe eines weiteren GS) die beiden Funktionen aufzustellen ?

Vielen Dank

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Ja, so würde man das machen.